Limites e subsequências. Se os termos de uma sequência aparecem em outra sequência na ordem dada, chamamos a primeira sequência de subsequência da segunda. Prove que se duas subsequências de uma sequência têm limites diferentes , então diverge.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos lá #partiudemonstração

Vamos considerar a sequência e duas subsequências suas e . Usando a definição de limite epsilon-delta, temos que:

Seja e com , isso implica que se aproxima para

e o seu valor é maior que zero desde que , ou seja, .

No entanto, a definição de limite afirma que, para qualquer então quando . Por comparação, seja e temos imediatamente uma contradição pois e e isso é impossível pois .

Por conta dessa contradição, não existe números então o limite não existe e a sequência diverge.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!