Quais das sequências { a_n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

a_n = raiz(2n / (n + 1))

Passo 1

Oie pessoal, vamos lá para mais um exercício! Vamos relembrar que uma sequência é uma lista de números em uma ordem determinada:

a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   … , a n ,   …

Uma sequência a n tem limite L e escrevemos:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

  • A sequência converge quando lim n → ∞ ⁡ a n existir;
  • Caso contrário, a sequência diverge.

Passo 2

Sendo assim, iremos calcular o limite da nossa sequência:

lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 1

Usando a regra do produto, temos:

2 ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Dividindo o numerador e o denominador por n :

2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n

E sabemos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Logo:

2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n = 2 ∙ 1 1 = 2

Como o limite existe, então a sequência converge.

Até mais pessoal.

Resposta

A sequência converge, com lim n → ∞ ⁡ a n = 2 .

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