Prove que, para o sistema

d x / d t = F(x, y), d y / d t = G(x, y)

existe no máximo uma trajetória passando por um ponto dado (x0, y0).

Sugestão: Seja C0 a trajetória gerada pela solução x = ϕ0(t), y = ψ0(t) com, e seja C1 a trajetória gerada pela solução x = φ1(t), y = ψ1(t) com ϕ1(t1) = x0, ψ1(t1) = y0 . Use

o fato de que o sistema é autônomo e use, também, o teorema de existência e unicidade, para

mostrar que C0 e C1 são iguais.

Passo 1

Nosso objetivo aqui é provar que, para este sistema:

d x d t = F x , y

d y d t = G x , y

Que possui mias de uma trajetória passando pelos pontos dados, x 0 , y 0 .

Tendo C 0 como uma trajetória gerada pela solução:

x = ϕ 0 t ,             y = ψ 0 t

Onde que:

ϕ 0 t 0 = x 0 ,           ψ 0 t 0 = y 0

Tendo C q sendo uma trajetória criada pela solução:

x = ϕ 1 t ,       y = ψ 1 t

Aonde:

ϕ 1 t 1 = x 0 ,             ψ 1 t 1 = y 0

Passo 2

Nosso sistema autônomo está associado a um campo de trajetórias que são independes do tempo, portanto a única trajetória passando por aca ponto x 0 , y 0 no plano de fase.

Ou em outras palavras, nós podemos dizer que todas soluções satisfazem a condição inicial na forma de:

ϕ 0 t 0 = x 0 ,           ψ 0 t 0 = y 0

Portanto estão na mesma trajetória, independentemente do tempo t 0 que é onde ele passam por x 0 , y 0 .

Temos também se nós assumirmos que as funções F x , y e G x , y são contínuas e temos parciais contínuas da derivada de alguma domínio D do plano x y , tendo este único teorema temos:

x = ϕ t ,           y = ψ t

Tendo sistema dado fazendo que satisfaz as condições iniciais:

x t 0 = x 0 ,   y t 0 = y 0

Passo 3

Consequentemente, após todos estes fatos citados, podemos dizer que C 0 e C 1 referencie a mesma trajetória do sistema dado e temos também mais de uma trajetória passando pelos pontos x 0 , y 0

Resposta

O sistema dado tem mais de uma trajetória passando pelos pontos dados.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1 - (dx/dt) = -x, (dy/dt) = -2y; x(0) = 4, y(0) = 2.
9 - d x / d t = y (2 - x - y), d y / d t = - x - y - 2 x y
6 - dx/dt = 1 + 2y, dy/dt = 1 - 3x^2
8 - d x / d t = -(2 + y) / (x + y), d y / d t = -y(1 - x)
3 - d*x/d*t = -y, d*y/d*t = x; x(0) = 4, y(0) = 0, e*x(0) = 0, y(0) = 4.