Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 26
Prove que, para o sistema
existe no máximo uma trajetória passando por um ponto dado (x0, y0).
Sugestão: Seja a trajetória gerada pela solução com, e seja a trajetória gerada pela solução com . Use
o fato de que o sistema é autônomo e use, também, o teorema de existência e unicidade, para
mostrar que e são iguais.
Passo 1
Nosso objetivo aqui é provar que, para este sistema:
Que possui mias de uma trajetória passando pelos pontos dados, .
Tendo como uma trajetória gerada pela solução:
Onde que:
Tendo sendo uma trajetória criada pela solução:
Aonde:
Passo 2
Nosso sistema autônomo está associado a um campo de trajetórias que são independes do tempo, portanto a única trajetória passando por aca ponto no plano de fase.
Ou em outras palavras, nós podemos dizer que todas soluções satisfazem a condição inicial na forma de:
Portanto estão na mesma trajetória, independentemente do tempo que é onde ele passam por
Temos também se nós assumirmos que as funções e são contínuas e temos parciais contínuas da derivada de alguma domínio D do plano , tendo este único teorema temos:
Tendo sistema dado fazendo que satisfaz as condições iniciais:
Passo 3
Consequentemente, após todos estes fatos citados, podemos dizer que e referencie a mesma trajetória do sistema dado e temos também mais de uma trajetória passando pelos pontos
Resposta
O sistema dado tem mais de uma trajetória passando pelos pontos dados.