1 -
Passo 1
As equações dadas são:
Considere
Então,
Integrando ambos os lados,
Ou
Onde é uma constante arbitrária de integração.
Forme a condição inicial fornecida.
Então,
Portanto, a solução da equação (1) é
Passo 2
Considere
Então,
Integrando ambos os lados,
Ou
Onde é uma constante arbitrária de integração.
Forme a condição inicial fornecida.
Então,
Portanto, a solução da equação (2) é
Passo 3
Agora,
Ou,
Integrando ambos os lados,
Ou, .
Inicialmente , .
Então
Portanto, as soluções necessárias são:
Então a trajetória desse sistema é uma parábola ascendente que passa pela origem e tem foco 2.
Passo 4
A trajetória é dada como:
Para determinar a direção do movimento ao longo da trajetória, vemos que, para condições iniciais positivas, aumenta à medida que aumenta.
Resposta
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Prove que, se uma trajetória começa em um ponto não crítico do sistema:d x / d t = F(x, y), d y / d t = G(x, y) então não pode atingir um ponto crítico (x0, y0) em um intervalo de tempo finito.Sugestã
2 - d x / d t = -x, d y / d t = 2y; x(0) = 4, y(0) = 2 e x(0) = 4, y(0) = 0.
5 - dx/dt = x - xy, dy/dt = y + 2xy
9 - d x / d t = y (2 - x - y), d y / d t = - x - y - 2 x y