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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 110

Prove o Teorema 3.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Primeiramente vejamos o que diz o teorema que desejamos provar:

Teorema 3 — Teorema da função contínua para sequências – Seja { a_n } uma sequência de números reais. Se a_n -> L e se f for uma função que é contínua em L e definida em todo a_n , então f (a_n) = f ( L ) .

Agora sim, vamos a sua demonstração:

Seja { a_n } uma sequência de números reais tal que a_n -> L . Consideremos f : X -> R uma função contínua em L e definida para todo a_n . Levando em conta ainda a sequência { f ( a_n ) } .

Adotando ϵ > 0 arbitrário e sendo f uma função contínua em L então existe um delta > 0 tal que x in X e |x - L| < delta o que implica que |f ( x ) - f ( L )| < ϵ .

Sendo a_n -> L temos que existe um N in N tal que |a_n - L| < delta para todo n > N . Portanto, para todo n > N temos que |f ( a_n ) - f ( L )| < ϵ .

Logo, desde que ϵ > 0 temos que para todo ϵ > 0 existe N in N tal que |f ( a_n ) - f ( L )| < ϵ para todo n > N temos que f (a_n) -> f ( L ) . Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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