A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que n > N. Como n/(n + 1)

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Primeiramente vejamos o que o problema deseja:

Nós teremos que mostrar que para todo então existe um inteiro tal que para todo temos que .

Agora sim, vamos a sua demonstração:

Para isso, vamos usar um pouco de manipulação matemática. Vamos começar adotando um que seja maior que . Sendo assim, temos a seguinte relação:

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por , logo:

Isolando M, obtemos:

Agora, como provamos que para todo nossa sequência eventualmente se torna maior que M, podemos concluir que 1 é de fato o limite superior de nossa sequência.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!