Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.

Passo 1

Fala, pessoal! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema, vem comigo que vamos resolver ela juntos!

Para o Teorema 2 temos o Teorema do confronto para as sequências e é dado que as sequências { a_n } , { b_n } e { c_n } com a_n <= b_n <= c_n para um dado índice n >= N , se existir o limite de underset(n -> oo)(l i m) a_n = L e underset(n -> oo)(l i m) c_n = L . Logo, underset(n -> oo)(l i m) b_n = L .

Se liga que a demonstração vem nos próximos passos.

Passo 2

Vamos começar essa questão lembrando que se um limite existe, para um ϵ > 0 , temos que:

se n >= n_1 , temos: L - ϵ < a_n < L + ϵ

se n >= n_2 , temos: L - ϵ < b_n < L + ϵ

se n >= n_3 , temos: L - ϵ < c_n < L + ϵ

onde o truque aqui vai ser trabalhar com L - ϵ < x_n < L + ϵ ao invés do módulo absoluto em | x_n - L | < ϵ .

Como queremos demonstrar para b_n , precisamos de um índice N em que esse número seja o maior entre n_1 , n_2 , n_3 , ou seja N = m a x { n_1 , n_2 , n_3 } . Com isso, garantimos a validade da seguinte relação, pois n >= N :

L - ϵ < a_n <= b_n <= c_n < L + ϵ

Passo 3

Agora, se olharmos bem para a última relação do passo anterior, a desigualdade da esquerda é garantida pois n >= N >= n_1 e a da direita também é garantida pela condição de que n >= N >= n_3

Logo, pelas relações iniciais do passo 2, podemos verificar que:

=> L - ϵ < b_n < L + ϵ

=> - ϵ < b_n - L < ϵ

=> | b_n - L | < ϵ

e concluímos que existe o limite

underset(n -> oo)(l i m) b_n = L

Resposta

Ver a discussão acima.

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