Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 109
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
Passo 1
Fala, pessoal! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema, vem comigo que vamos resolver ela juntos!
Para o Teorema 2 temos o Teorema do confronto para as sequências e é dado que as sequências e com para um dado índice , se existir o limite de e . Logo, .
Se liga que a demonstração vem nos próximos passos.
Passo 2
Vamos começar essa questão lembrando que se um limite existe, para um , temos que:
se , temos:
se , temos:
se , temos:
onde o truque aqui vai ser trabalhar com ao invés do módulo absoluto em .
Como queremos demonstrar para , precisamos de um índice em que esse número seja o maior entre , ou seja . Com isso, garantimos a validade da seguinte relação, pois :
Passo 3
Agora, se olharmos bem para a última relação do passo anterior, a desigualdade da esquerda é garantida pois e a da direita também é garantida pela condição de que
Logo, pelas relações iniciais do passo 2, podemos verificar que:
e concluímos que existe o limite
Resposta
Ver a discussão acima.