Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 106
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: e convergem para , então a sequência
converge para .
Passo 1
Fala, galerinha! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema, vamos resolver ela juntos. Bora lá!
Essa questão pede pra gente provar o Teorema da sequência intercalada, que é uma sequência que intercala elementos das sequências e :
As sequências e convergem para e temos que mostrar que a sequência intercalada também.
Passo 2
Se a gente olhar bem pra sequência intercalada, dá pra perceber que todos os termos ímpares vem da sequência e todos os pares vem da sequência . Ou seja, e a sequência intercalada é dada por
Pois muito bem, podemos tomar o limite dessas duas subsequências e mostrar que é igual. Acompanha o próximo passo.
Passo 3
Tomando o limite nas duas subsequências do passo anterior, ficamos com
Como nos dois casos o limite foi mesmo, então podemos concluir o limite da sequência intercalada é .
Resposta
Ver a discussão acima.