Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: {a_n} e {b_n} convergem para L , então a sequência

a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ...

converge para L .

Passo 1

Fala, galerinha! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema, vamos resolver ela juntos. Bora lá!

Essa questão pede pra gente provar o Teorema da sequência intercalada, que é uma sequência que intercala elementos das sequências { a n } e { b n } :

a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n , b n ,   ⋅ ⋅ ⋅

As sequências { a n } e { b n } convergem para L e temos que mostrar que a sequência intercalada também.

Passo 2

Se a gente olhar bem pra sequência intercalada, dá pra perceber que todos os termos ímpares vem da sequência { a n } e todos os pares vem da sequência { b n } . Ou seja, c 1 = a 1 ,   c 3 = a 2 ,   c 5 = a 3 ,   . . . c 2 = b 1 ,   c 4 = b 2 ,   c 6 = b 3 ,   . . . e a sequência intercalada { c n } é dada por

c 2 n - 1 = a n

c 2 n = b n

Pois muito bem, podemos tomar o limite dessas duas subsequências e mostrar que é igual. Acompanha o próximo passo.

Passo 3

Tomando o limite nas duas subsequências do passo anterior, ficamos com

l i m n → ∞ c 2 n - 1 = l i m n → ∞ a n = L

l i m n → ∞ c 2 n = l i m n → ∞ b n = L

Como nos dois casos o limite foi mesmo, então podemos concluir o limite da sequência intercalada é L .

Resposta

Ver a discussão acima.

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