Unicidade dos menores limitantes superiores. Mostre que se M1 e M2 são os menores limitantes superiores para a sequência {an}, então M1 = M2. Sendo assim, uma sequência não pode ter dois menores limitantes superiores diferentes.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Primeiramente vejamos o que o problema deseja:

Queremos mostrar que se M1 e M2 são os menores limitantes superiores para a sequência {an}, então M1 = M2.

Agora sim, vamos a sua demonstração:

Vamos considerar a sequência e supondo que e são os menores limites superiores para .

Seja o menor limite superior para temos que para todo e para qualquer outro limite superior M para temos que . Sendo assim, se é um limite superior para temos que .

Agora, consideremos que o menor limite superior para temos que para todo e para qualquer outro limite superior M para temos que . Sendo assim, se é um limite superior para temos que .

Sendo assim, se e , logo .

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!