Unicidade dos menores limitantes superiores. Mostre que se M1 e M2 são os menores limitantes superiores para a sequência {an}, então M1 = M2. Sendo assim, uma sequência não pode ter dois menores limitantes superiores diferentes.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Primeiramente vejamos o que o problema deseja:

Queremos mostrar que se M1 e M2 são os menores limitantes superiores para a sequência {an}, então M1 = M2.

Agora sim, vamos a sua demonstração:

Vamos considerar a sequência { a n } e supondo que M 1 e M 2 são os menores limites superiores para { a n } .

Seja M 1 o menor limite superior para { a n } temos que a n ≤ M 1   para todo n   ∈   N e para qualquer outro limite superior M para { a n } temos que M 1 ≤ M . Sendo assim, se M 2 é um limite superior para { a n } temos que M 1 ≤ M 2 .

Agora, consideremos que M 2 o menor limite superior para { a n } temos que a n ≤ M 2   para todo n   ∈   N e para qualquer outro limite superior M para { a n } temos que M 2 ≤ M . Sendo assim, se M 1 é um limite superior para { a n } temos que M 2 ≤ M 1 .

Sendo assim, se M 1 ≤ M 2 e M 2 ≤ M 1 , logo M 1 = M 2 .

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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