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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.9 - Ex. 18

Prove o Teorema 2.9.1, se a < 0 .

Passo 1

O domínio de f é o conjunto de todos os números reais, exceto 0. Logo - a está dentro do domínio de f . Assim teremos que provar underset(x -> - a)(lim) (1)/(x) = - (1)/(a) .

Passo 2

Usando a Definição 2.1.1 obtemos

Se 0 < |x - (- a)| < delta , então |(1)/(x) - (- (1)/(a))| < ϵ

Se 0 < |x + a| < delta , então |(1)/(x) + (1)/(a)| < ϵ

Como

|(1)/(x) + (1)/(a)| = |(a + x)/(a x)|

= (|a + x|)/(|a x|)

= |a + x| * (1)/(a |x|) (pois a < 0 )

Assim podemos reformular a expressão como sendo

Se 0 < |x + a| < delta , então |a + x| * (1)/(a |x|) < ϵ

Passo 3

Como agora temos, além de |a + x| temos o fator (1)/(a |x|) . Para provr a existência do limite vamos restringir delta pra obter uma desigualdade envolvendo (1)/(a |x|) . Escolhendo o intervalo aberto exigido pela Definição 2.1.1 como sendo ((1)/(2) a , (3)/(2) a) , que contém a , mas não 0, estamos exigindo

delta <= (1)/(2) a . Então,

0 < |x + a| < delta e delta <= (1)/(2) a

|x + a| < (1)/(2) a

- (1)/(2) a < x + a < (1)/(2) a

- (3)/(2) a < x < - (1)/(2) a

(1)/(2) a < |x| < (3)/(2) a (pois a < 0 )

(2)/(3 a) < (1)/(|x|) < (2)/(a)

(2)/(3 a^2) < (1)/(a |x|) < (2)/(a^2)

(1)/(a |x|) < (2)/(a^2)

Passo 4

Tendo (1)/(a |x|) < (2)/(a^2) e 0 < |x + a| < delta podemos mostrar que |x + a| (1)/(a |x|) < (2)/(a^2) delta

Primeiro manipulamos |x| < (2)/(a^2)

((1)/(a |x|) < (2)/(a^2)) delta

(1)/(a |x|) delta < (2)/(a^2) delta

Agora manipulamos 0 < |x + a| < delta

(0 < |x + a| < delta) (1)/(a |x|)

0 < |x + a| (1)/(a |x|) < delta (1)/(a |x|)

0 < |x + a| (1)/(a |x|) < delta (1)/(a |x|) e (1)/(a |x|) delta < (2)/(a^2) delta temos que |x + a| (1)/(a |x|) < (2)/(a^2) delta

Passo 5

Como queremos achar |x + a| (1)/(a |x|) < ϵ e a afirmativa acima indica que devemos requerer (2)/(a^2) delta <= ϵ , isto é delta <= (a^2)/(2) ϵ . Assim devemos aplicar duas restrições e delta <= (1)/(2) a e delta <= (a^2)/(2) ϵ . E para que ambas sejam satisfeitas devemos tomar delta como o menor dos dois números. Prosseguindo temos

|x + a| (1)/(a |x|) < (2)/(a^2) delta

|x + a| (1)/(a |x|) < (2)/(a^2) (a^2)/(2) ϵ , pois delta <= (a^2)/(2) ϵ

|x + a| (1)/(a |x|) < ϵ

Passo 6

Demonstramos que tomar delta como o menor dos dois números para 0 < ϵ , a seguinte afirmativa é verdadeira

Se 0 < |x + a| < delta , então |a + x| * (1)/(a |x|) < ϵ

O que prova que underset(x -> - a)(lim) (1)/(x) = - (1)/(a) , ou seja, underset(x -> a)(lim) (1)/(x) = (1)/(a) para a < 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .c) M = 100000
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.71. a) lim x → 1 + ⁡ 1 1 - x = - ∞
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.74. a) lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 = + ∞
57. b) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo, diferente de 1 , o valor da função f x = 1 x - 1 é maior do que 1000 .
65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.67. lim x → 4 + ⁡ x - 4 = 0