Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.9 - Ex. 18

Prove o Teorema 2.9.1, se .

Passo 1

O domínio de é o conjunto de todos os números reais, exceto 0. Logo está dentro do domínio de . Assim teremos que provar .

Passo 2

Usando a Definição 2.1.1 obtemos

Se , então

Se , então

Como

(pois

Assim podemos reformular a expressão como sendo

Se , então

Passo 3

Como agora temos, além de temos o fator . Para provr a existência do limite vamos restringir pra obter uma desigualdade envolvendo . Escolhendo o intervalo aberto exigido pela Definição 2.1.1 como sendo , que contém , mas não 0, estamos exigindo

. Então,

e

(pois

Passo 4

Tendo e podemos mostrar que

Primeiro manipulamos

Agora manipulamos

e temos que

Passo 5

Como queremos achar e a afirmativa acima indica que devemos requerer isto é . Assim devemos aplicar duas restrições e e . E para que ambas sejam satisfeitas devemos tomar como o menor dos dois números. Prosseguindo temos

, pois

Passo 6

Demonstramos que tomar como o menor dos dois números para , a seguinte afirmativa é verdadeira

Se , então

O que prova que , ou seja, para .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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58. Em cada parte, encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .a) M = 10

58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .c) M = 100000

71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.71. a) lim x → 1 + ⁡ 1 1 - x = - ∞

71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.74. a) lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 = + ∞

57. b) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo, diferente de 1 , o valor da função f x = 1 x - 1 é maior do que 1000 .