Prove o Teorema 2.6.5 para o caso em que é negativo ou nulo e é ímpar.

Como com sendo um número ímpar, está definido para os reais e queremos provar o limite para , assim o intervalo aberto pela Definição 2.1.1 poderá ser qualquer intervalo aberto contendo e no extremo direito um número negativo ou 0. Pela Definição 2.1.1 devemos mostrar que

Se , então

Para expressarmos em termos de vamos usar da seguinte relação

E para fins de facilitar a escrita da expressão vamos chama-la de , assim temos

Desta forma podemos reformular nossa afirmativa como

Se , então

Como temos os fatores e , vamos colocar uma restrição em para nos dar uma desigualdade envolvendo . Para isso vamos estabelecer um intervalo aberto como e exigiremos que . Assim podemos deduzir que

e

Agora

e

Agora vamos obter , para isso devemos exigir , isto é, . Assim escolhemos min . Com esse usamos o seguinte argumento:

e

, pois

Demonstramos que para todo , com min , a seguinte afirmativa é verdadeira:

Se , então

Provando que , para quando é um número ímpar e