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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.9 - Ex. 19

Prove o Teorema 2.6.5 para o caso em que a é negativo ou nulo e n é ímpar.

Passo 1

Desejamos provar que quando a ≤ 0 e f x = x n , sendo n um número ímpar, então f será contínua para qualquer a no domínio dos reais e a demonstração estará completa se mostrarmos que lim x → a ⁡ x n =   a n .

Passo 2

Como x n com n sendo um número ímpar, está definido para os reais e queremos provar o limite para a ≤ 0 , assim o intervalo aberto pela Definição 2.1.1 poderá ser qualquer intervalo aberto contendo a e no extremo direito um número negativo ou 0. Pela Definição 2.1.1 devemos mostrar que

Se 0 < x - a < δ   , então x n - a n < ϵ

Passo 3

Para expressarmos x n - a n em termos de x - a vamos usar da seguinte relação

x n - a n = x - a 1 x ( n - 1 ) / n + x ( n - 2 ) / n a 1 / n + … + x 1 / n a ( n - 2 ) / n + a ( n - 1 ) / n  

E para fins de facilitar a escrita da expressão x ( n - 1 ) / n + x ( n - 2 ) / n a 1 / n + … + x 1 / n a ( n - 2 ) / n + a ( n - 1 ) / n vamos chama-la de ϕ x , assim temos

x n - a n = x - a 1 ϕ x  

Desta forma podemos reformular nossa afirmativa como

Se 0 < x - a < δ   , então x - a 1 ϕ x   < ϵ

Passo 4

Como temos os fatores x - a e 1 ϕ x   , vamos colocar uma restrição em δ para nos dar uma desigualdade envolvendo 1 ϕ x   . Para isso vamos estabelecer um intervalo aberto como 2 a ,   0 e exigiremos que δ ≤ a . Assim podemos deduzir que

0 < x - a < δ e δ ≤ a

⇒ x - a < a

⇒ a < x - a < - a

⇒ 2 a < x < 0

⇒ a ( n - 1 ) / n < ϕ x  

⇒ 1 ϕ x < 1 a ( n - 1 ) / n

Agora

0 < x - a < δ e 1 ϕ x < 1 a ( n - 1 ) / n

⇒ x - a ∙ 1 ϕ x < δ ∙ 1 a ( n - 1 ) / n

Passo 5

Agora vamos obter x - a ∙ 1 ϕ x < ϵ , para isso devemos exigir δ ∙ 1 a ( n - 1 ) / n <   ϵ , isto é, δ <   ϵ ∙ a ( n - 1 ) / n . Assim escolhemos δ = min a , a ( n - 1 ) / n ϵ . Com esse δ usamos o seguinte argumento:

0 < x - a < δ

⇒ x - a ∙ 1 ϕ x < δ ∙ 1 ϕ x

⇒ x n - a n < δ ∙ 1 ϕ x

⇒ x n - a n < δ ∙ 1 ϕ x e δ ∙ 1 ϕ x <   δ ∙ 1 a ( n - 1 ) / n

⇒ x n - a n < δ ∙ 1 a ( n - 1 ) / n

⇒ x n - a n < ϵ ∙ a ( n - 1 ) / n ∙ 1 a ( n - 1 ) / n , pois δ <   ϵ ∙ a ( n - 1 ) / n

⇒ x n - a n < ϵ

Passo 6

Demonstramos que para todo ϵ > 0 , com δ = min a , a ( n - 1 ) / n ϵ , a seguinte afirmativa é verdadeira:

Se 0 < x - a < δ   , então x n - a n < ϵ

Provando que lim x → a ⁡ x n =   a n , para quando n é um número ímpar e a ≤ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.66. lim x → 1 - ⁡ 3 x + 2 = 5
58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .b) M = 1000
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.73. a) lim x → + ∞ ⁡ x + 1 = + ∞
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.72. a) lim x → 0 + ⁡ 1 x = + ∞
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.73. b) lim x → - ∞ ⁡ x + 1 = - ∞