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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 50

Prove o Teorema de Limite 6:

Se

underset(x -> a)(lim) f (x) = L e underset(x -> a)(lim) g (x) = M

Então

underset(x -> a)(lim) [ f (x) . g ( x ) ] = L . M

Passo 1

Precisamos provar que o teorema descrito no enunciado é verdadeiro. Para começar assumimos que:

underset(x -> a)(lim) [ f (x) . g ( x ) ] = underset(x -> a)(l i m) f ( x ) . underset(x -> a)(l i m) g ( x ) = L . M

Passo 2

Para comprovar este teorema precisamos reorganizar o termo f (x) . g ( x ) :

(f (x) - L) . (g (x) - M) = f (x) . g (x) - f (x) . L - g (x) . M + L . M

Isolando o termo de interesse:

f (x) . g (x) = (f (x) - L) . (g (x) - M) + f (x) . L + g (x) . M - L . M

Aplicando o limite em ambos os termos:

underset(x -> a)(l i m) f (x) . g (x) = underset(x -> a)(l i m) (f (x) - L) . (g (x) - M) + f (x) . L + g (x) . M - L . M

Usando o Teorema 4:

underset(x -> a)(l i m) f (x) . g (x) = underset(x -> a)(l i m) (f (x) - L) . (g (x) - M) + underset(x -> a)(l i m) f (x) . M + underset(x -> a)(l i m) g (x) . L - underset(x -> a)(l i m) L . M

De acordo com o Teorema 11:

underset(x -> a)(l i m) (f (x) - L) = 0

underset(x -> a)(l i m) (g (x) - M) = 0

underset(x -> a)(l i m) (f (x) - L) . (g (x) - M) = 0

E sabendo que a constante pode sair do limite:

underset(x -> a)(l i m) f (x) . M = M underset(x -> a)(l i m) f (x) = L M

underset(x -> a)(l i m) g (x) . L = L underset(x -> a)(l i m) g (x) = L M

underset(x -> a)(l i m) L . M = L M

Então:

underset(x -> a)(l i m) f (x) . g (x) = 0 + L M + L M - L . M

underset(x -> a)(l i m) f (x) . g (x) = L M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:e) lim x → 1 ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:a) lim x → 0 + ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:c) lim x → - 2 ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:e) lim x → - ∞ ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:d) lim x → + ∞ ⁡ f ( x )