Prove o Teorema de Limite 6: Se underset(x -> a)(lim) f (x) = L e underset(x -> a)(lim) g (x) = M Então underset(x -> a)(lim) [ f (x) . g ( x ) ] = L . M Passo 1Precisamos provar que o teorema descrito no enunciado é verdadeiro. Para começar assumimos que: underset(x -> a)(lim) [ f (x) . g ( x ) ] = underset(x -> a)(l i m) f ( x ) . underset(x -> a)(l i m) g ( x ) = L . M Passo 2Para comprovar este teorema precisamos reorganizar o termo f (x) . g ( x ) : (f (x) - L) . (g (x) - M) = f (x) . g (x) - f (x) . L - g (x) . M + L . M Isolando o termo de interesse: f (x) . g (x) = (f (x) - L) . (g (x) - M) + f (x) . L + g (x) . M - L . M Aplicando o limite em ambos os termos: underset(x -> a)(l i m) f (x) . g (x) = underset(x -> a)(l i m) (f (x) - L) . (g (x) - M) + f (x) . L + g (x) . M - L . M Usando o Teorema 4: underset(x -> a)(l i m) f (x) . g (x) = underset(x -> a)(l i m) (f (x) - L) . (g (x) - M) + underset(x -> a)(l i m) f (x) . M + underset(x -> a)(l i m) g (x) . L - underset(x -> a)(l i m) L . M De acordo com o Teorema 11: underset(x -> a)(l i m) (f (x) - L) = 0 underset(x -> a)(l i m) (g (x) - M) = 0 underset(x -> a)(l i m) (f (x) - L) . (g (x) - M) = 0 E sabendo que a constante pode sair do limite: underset(x -> a)(l i m) f (x) . M = M underset(x -> a)(l i m) f (x) = L M underset(x -> a)(l i m) g (x) . L = L underset(x -> a)(l i m) g (x) = L M underset(x -> a)(l i m) L . M = L M Então: underset(x -> a)(l i m) f (x) . g (x) = 0 + L M + L M - L . M underset(x -> a)(l i m) f (x) . g (x) = L M RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSeja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:e) lim x → 1 f ( x )Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:a) lim x → 0 + f ( x )Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:c) lim x → - 2 f ( x )Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:e) lim x → - ∞ f ( x )Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:d) lim x → + ∞ f ( x )Ver TambémVer Livro Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis LeitholdVer tudo sobre LimitesLista de exercícios de Introdução aos Limites e suas PropriedadesVer exercício 2.2 - 45Ver exercício 4.5 - 34