Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.9 - Ex. 17
Prove que se para todos os valores de , exceto , então se não existir, o também não existirá. (Sugestão: mostre que a hipótese de que exista nos levará a uma contradição.)
Passo 1
Como queremos provar que se não existir, o também não existirá, o que também nos diz que se provado essa afirmação então a seguinte afirmação ocorre se existir, o também existirá, pois se uma ocorre a outra também ocorre uma vez que se uma das afirmações não existir e a outra sim teremos uma contradição. Assim não podemos dizer por exemplo que não existe e existe já que vai tanto em contradição com a nossa tese como com a antítese. Por fim vamos provar que a antítese da hipótese ocorre consequentemente a hipótese.
Passo 2
Aplicando a Definição 2.1.1 para temos que
Se , então
Como e a Definição 2.1.1 nos diz que independente se a função está definida para quando podemos encontrar o limite, então basta aplicar a igualdade na expressão e temos
Se , então
Passo 3
Assim se também teremos e portanto , isto é se provado a existência desses limites, para isso basta provar existência do limite de uma das funções e a outra será provada por consequência. Como não tem como prova a existência de somente uma das funções, também não tem como provar que não existe o limite de uma das partes. Por fim podemos provar que se não existir, o também não existirá é uma afirmação verdadeira.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)