Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá. (Sugestão: mostre que a hipótese de que lim x → a ⁡ f x exista nos levará a uma contradição.)

Passo 1

Como queremos provar que se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá, o que também nos diz que se provado essa afirmação então a seguinte afirmação ocorre se lim x → a ⁡ g x existir, o lim x → a ⁡ f x também existirá, pois se uma ocorre a outra também ocorre uma vez que se uma das afirmações não existir e a outra sim teremos uma contradição. Assim não podemos dizer por exemplo que lim x → a ⁡ f x não existe e lim x → a ⁡ g x existe já que vai tanto em contradição com a nossa tese como com a antítese. Por fim vamos provar que a antítese da hipótese ocorre consequentemente a hipótese.

Passo 2

Aplicando a Definição 2.1.1 para f x temos que

Se 0 < x - a < δ   , então f x   - L < ϵ

Como f x = g x e a Definição 2.1.1 nos diz que independente se a função está definida para quando x = a   podemos encontrar o limite, então basta aplicar a igualdade na expressão e temos

Se 0 < x - a < δ   , então g x   - L < ϵ

Passo 3

Assim se lim x → a ⁡ f x = L também teremos lim x → a ⁡ g x = L e portanto lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x , isto é se provado a existência desses limites, para isso basta provar existência do limite de uma das funções e a outra será provada por consequência. Como não tem como prova a existência de somente uma das funções, também não tem como provar que não existe o limite de uma das partes. Por fim podemos provar que se lim x → a ⁡ g x não existir, o lim x → a ⁡ f x também não existirá é uma afirmação verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados