Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 16
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer , ache um tal que se , então
Passo 1
A exigência da Definição 2.1.1 é a de que seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha , mas não necessariamente definida para quando . O polinômio definido para todos os números reais, então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha . Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.
Se , então
Se , então
Passo 2
Como temos os fatores e , vamos colocar uma restrição em para nos dar uma desigualdade envolvendo . Para isso vamos estabelecer um intervalo aberto com as características descritas anteriormente, sendo este e isto implica que . Assim podemos deduzir que:
e
Passo 3
Tendo e podemos mostrar que
Primeiro manipulamos
Agora manipulamos
e temos que
Passo 4
Como queremos achar e a afirmativa acima indica que devemos requerer isto é . Assim devemos aplicar duas restrições e e . E para que ambas sejam satisfeitas devemos tomar como o menor dos dois números. Prosseguindo temos
, pois
Demonstramos que tomar como o menor dos dois números para , a seguinte afirmativa é verdadeira
Se , então
O que prova que .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)