Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 61
Prove, sem usar gráficos, que o gráfico da função tem pelo menos dois pontos interceptando o eixo x no intervalo especificado.
Passo 1
Olá, meu caro amigo. Vamos para mais uma resolução.
Aqui a gente precisa provar, sem gráfico, que a função
Tem duas raízes dentro do intervalo .
Para provar que o gráfico da função tem pelo menos dois pontos de interceptação com o eixo no intervalo , podemos usar o Teorema do Valor Intermediário.
O Teorema do Valor Intermediário estabelece que se é contínua em um intervalo fechado e e têm sinais opostos, então existe pelo menos um número no intervalo tal que , ou seja, existe um ponto em que a função cruza o eixo .
Passo 2
No nosso caso, consideramos . Vamos dividir o intervalo em dois, primeiro iremos aplicar o teorema em e depois em
Primeiro, vamos verificar os sinais de e :
Como e têm sinais opostos, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário e concluir que, existe pelo menos um ponto no intervalo onde , ou seja, onde o gráfico de intercepta o eixo .
Agora iremos repetir o que fizermos para o intervalo .
Passo 3
Primeiro, vamos verificar os sinais de e :
Como e têm sinais opostos, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário e concluir que, existe pelo menos um ponto no intervalo onde , ou seja, onde o gráfico de intercepta o eixo .
Então, com essas duas provas, podemos então finalmente dizer que dentro do intervalo temos duas raízes da função:
Resposta
Ver o desenvolvimento.