Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 67
Se uma quantidade física desconhecida é medida vezes, as medidas muitas vezes variam, dependendo de fatores incontroláveis, como temperatura, pressão atmosférica, etc. Assim, um cientista muitas vezes se depara com o problema de obter, a partir de medidas observadas distintas, uma estimativa de uma quantidade desconhecida . Um método de obter tal estimativa está baseado no princípio dos mínimos quadrados, que estabelece que a estimativa deve ser escolhida de forma a minimizar:
Que é a soma dos quadrados dos desvios entre a estimativa e os valores medidos. Mostre que a estimativa resultante do princípio dos mínimos quadrados é:
Isto é, é a média aritmética dos valores observados.
Passo 1
Então galera, de acordo com o enunciado, a expressão que estabelece a estimativa que deve ser escolhida de forma a minimizar a quantidade é essa:
Como estamos interessados em minimização, vamos utilizar os conceitos de cálculo que conhecemos! Derivando nossa função:
Igualando a zero:
Que é o que queríamos demonstrar! Show!
Passo 2
Conseguimos chegar na expressão que o enunciado queria, ok! No entanto, como fazemos para provar de que se trata de um ponto de mínimo mesmo? Fazendo o teste da derivada segunda! Derivando novamente nossa função, teremos:
Como a derivada segunda deu maior que zero, isso implica que a concavidade da função é para cima e, portanto, o ponto em questão é um ponto de mínimo!
Sendo assim, fica provado que, de fato, é um ponto de mínimo da função !
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)