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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 22

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n n 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa série

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n n 2

E precisamos decidir se isso converge ou diverge. Mas como uma soma de infinitos números é um número? Se a série for convergente, a soma infinita será um número!

Ou seja, quando o termo geral vai diminuindo tanto, mas tanto que não importa quantos termos você some, o valor será finito! Mas como fazer isso?

A partir do seu termo geral, ver qual teste podemos aplicar! E agora, qual teste usar? Aqui uma dica! Se você olhar para o termo geral e ela lembrar uma função que você sabe integrar, então esse é o teste!

Trocando n por x na nossa série temos

ln ⁡ n n 2 → ln ⁡ x x 2

E essa função nós sabemos como integrar! Então está aí! Já temos nosso teste!

Mas relaxa, vou fazer contigo!

Passo 2

Nessa questão, nós podemos fazer uso do Teste da Integral. Vocês sabem o que é? Ele é bem prático e simples! Vamos supor que a nossa função f é contínua, positiva, decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) e que a n = f ( n ) .

Então, a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se e somente se a integral imprópria ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:

  1. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é convergente;
  2. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é divergente.

Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se essa série é convergente ou divergente? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:

f x = ln ⁡ x x 2

Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) , não é? Logo, podemos usa o teste da Integral para definir a convergência! Vamos escrever a integral imprópria:

∫ 2 ∞ ln ⁡ x x 2 d x

Passo 3

A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração! Como que lidamos com isso???

Sempre que tivermos uma descontinuidade nos limites de integração, nós podemos escrever a integral da seguinte forma:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!

∫ 2 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 2 t ln ⁡ x x 2 d x

Passo 4

Resolvendo a integral temos:

∫ 2 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 2 t ln ⁡ x x 2 d x

Vamos resolver essa integral por partes! Seja u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x e d v = 1 x 2 d x → v = - 1 x . Reescrevendo a integral, temos:

∫ 2 t ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x 2 t - ∫ 2 t - 1 x 2 d x

∫ 2 t ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ t t + ln ⁡ 2 2 - 1 x 2 t

Aplicando os limites de integração

∫ 2 t ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ t t + ln ⁡ 2 2 - 1 t - 1 2

Voltando para o limite, temos:

∫ 2 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - ln ⁡ t t + ln ⁡ 2 2 - 1 t + 1 2

∫ 2 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = 1 2 + l n 2 2 - lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t t ⏝ ∞ ∞

Nesse limite, caímos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ ! Precisamos nos livrar dessa indeterminação! O teorema de L’hopital nos ajuda nisso! Ele diz que em indeterminações assim, precisamos derivar o numerador, o denominador e avaliar novamente o limite!

Passo 5

Aplicando L’Hospital, temos:

∫ 2 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = 1 2 + l n 2 2 - lim t → ∞ ⁡ 1 t 1 = 1 2 [ 1 + ln ⁡ 2 ]

Como a integral é convergente, então, pelo Teste da Integral, a série ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n n 2 é convergente!

Resposta

A série é convergente!

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Teste a convergência ou divergência da série:sum_(k = 1)^(oo) k^2 e^(- k)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(k = 1)^(oo) (k ln k)/((k + 1)^3)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n^2)
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n 4
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n 4