Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 16
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo na paz?
Para resolver nossa questão, uma estratégia é utilizar o Teste da Integral.
Relembrando nosso teste: Se tivermos uma função contínua, positiva, decrescente em certo intervalo, então, nossa série é convergente se e somente se a integral imprópria for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:
- Se for convergente, então é convergente;
- Se for divergente, então é divergente.
Percebe que um dos limites de integração da nossa função é ? Isso quer dizer que temos uma integral imprópria: Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Resumindo: vamos precisar calcular:
E se essa integral convergir, nossa série será convergente!
Vamos lá?
Passo 2
Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se essa série cumpre os requisitos necessários para aplicarmos o Teste da Integral? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:
Essa função é contínua, já que não temos restrições para os valores de que ela pode assumir no nosso intervalo de interesse . Nesse mesmo intervalo ela é sempre positiva.
Vamos analisar se ela é crescente ou decrescente. Reescrevendo os expoentes, teremos:
Veja que nosso denominador sempre vai ser maior que o nosso numerador já que no numerador nosso está elevado a que é menor que . Além disso ainda temos o 1 somando no denominador. Isso significa que nossa função vai ficando com termos cada vez menores, ou seja, é decrescente.
Logo, podemos usar o teste da Integral para definir a convergência!
Passo 3
Escrevendo nossa integral imprópria, temos:
Vamos aqui resolver essa integral usando o método de substituição de variável! Seja:
Derivando :
Assim:
Passo 4
Voltando para a variável original, temos:
Aplicando os limites de integração e 1:
Calculando o limite:
Aqui vemos que temos um termo dependendo de . Sempre que temos com expoente maior que 1, conforme nosso termo também tende ao infinito.
Então:
Voltando para nossa integral imprópria:
Como a integral é divergente, então, pelo Teste da Integral, a série é divergente!
Resposta
A série é divergente!