Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 38
Encontre a soma para a série correta com quatro casas decimais de precisão.
Passo 1
Vamos supor que a gente possa usar o Teste da Integral para mostrar que uma série é convergente e que queremos encontrar uma aproximação para a soma da série. A gente pode aproximar através de uma soma parcial mas quão preciso seria isso? Para descobrirmos, precisamos estimar o tamanho do resto!
O resto é o erro resultante de quando , a soma dos primeiros termos, é utilizada como uma aproximação para a soma total. Supondo que , onde é uma função contínua, positiva, decrescente para e é convergente. Se , então:
Passo 2
Bom, precisamos encontrar o valor de . Como queremos que o erro seja menor que , nós queremos . Logo, queremos que .
Resolvendo a integral temos:
Para resolver essa integral, precisaremos integrar por partes! Seja e . Assim, temos:
Voltando ao limite, temos:
Temos uma indeterminação no limite! Aplicando L’Hospital, temos:
Passo 3
Voltando a inequação, temos:
Essa inequação não é fácil de resolver, portanto aqui teremos que usar uma calculadora para encontrar o valor de que satisfaz a inequação. Se , então:
que é um valor maior que . Se , então
Logo, nós precisamos de termos para definir a soma! Assim,
Resposta
A soma se aproxima de: