Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 38

Encontre a soma para a série ∑ n = 1 ∞ n e - 2 n correta com quatro casas decimais de precisão.

Passo 1

Vamos supor que a gente possa usar o Teste da Integral para mostrar que uma série é convergente e que queremos encontrar uma aproximação para a soma s da série. A gente pode aproximar através de uma soma parcial s n mas quão preciso seria isso? Para descobrirmos, precisamos estimar o tamanho do resto!

R n = s - s n = a n + 1 + a n + 2 + …

O resto R n é o erro resultante de quando s n , a soma dos n primeiros termos, é utilizada como uma aproximação para a soma total. Supondo que f n = a n , onde f é uma função contínua, positiva, decrescente para x ≥ n e ∑ a n é convergente. Se R n = s - s n , então:

∫ n + 1 ∞ f ( x ) d x ≤ R n ≤ ∫ n ∞ f x d x

Passo 2

Bom, precisamos encontrar o valor de ∫ n ∞ f ( x ) d x . Como queremos que o erro seja menor que 0,00005 , nós queremos R n < 0,00005 . Logo, queremos que ∫ n ∞ x e - 2 x d x < 0,00005 .

Resolvendo a integral temos:

∫ n ∞ x e - 2 x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ n t x e - 2 x d x

Para resolver essa integral, precisaremos integrar por partes! Seja u = x → d u = d x e d v = e - 2 x d x → v = - 1 2 e - 2 x . Assim, temos:

∫ n t x e - 2 x d x = - x 2 e - 2 x n t - ∫ n t - 1 2 e - 2 x d x

∫ n t x e - 2 x d x = - x 2 e - 2 x n t - 1 4 e - 2 x n t

∫ n t x e - 2 x d x = - t 2 e - 2 t + n 2 e - 2 n - 1 4 e - 2 t + 1 4 e - 2 n

Voltando ao limite, temos:

∫ n ∞ x e - 2 x d x = lim t → ∞ ⁡ - t 2 e - 2 t + n 2 e - 2 n - 1 4 e - 2 t + 1 4 e - 2 n = 1 4 e 2 n + n 2 e 2 n - lim t → ∞ ⁡ t 2 e 2 t - lim t → ∞ ⁡ 1 4 e 2 t

Temos uma indeterminação no limite! Aplicando L’Hospital, temos:

∫ n ∞ x e - 2 x d x = 1 4 e 2 n + n 2 e 2 n - lim t → ∞ ⁡ 1 4 e 2 t - lim t → ∞ ⁡ 1 4 e 2 t

∫ n ∞ x e - 2 x d x = 2 n + 1 4 e 2 n

Passo 3

Voltando a inequação, temos:

2 n + 1 4 e 2 n < 0,00005

Essa inequação não é fácil de resolver, portanto aqui teremos que usar uma calculadora para encontrar o valor de n que satisfaz a inequação. Se n = 5 , então:

11 4 e 10 ≈ 0,000125

que é um valor maior que 0,00005 . Se n = 6 , então

13 4 e 12 ≈ 0,00002 < 0,00005

Logo, nós precisamos de 6 termos para definir a soma! Assim,

∑ 1 ∞ n e - 2 n ≈ ∑ 1 6 n e - 2 n

∑ 1 6 n e - 2 n = 1 e 2 + 2 e 4 + 3 e 6 + 4 e 8 + 5 e 10 + 6 e 12

∑ 1 6 n e - 2 n ≈ 0,1810

Resposta

A soma se aproxima de:

∑ 1 ∞ n e - 2 n ≈ ∑ 1 6 n e - 2 n ≈ 0,1810

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n n + 1
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n
Encontre os valores de p para os quais a série é convergente. ∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 3 ∞ n 2 e n
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n 3