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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 13

Reduzindo uma integral dupla a simples Mudando a ordem de integracao, mostre que a integral dupla a seguir pode ser reduzida para uma integral simples:

∫ 0 x ∫ 0 u e m x - t f t d t   d u =   ∫ 0 x x - t e m x - t f t d t  

De maneira semelhante, pode ser mostrado que

∫ 0 x ∫ 0 v ∫ 0 u e m x - t f t   d t   d u   d v = ∫ 0 x x - t 2 2   e m x - t f t d t

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Basta reduzirmos a integral dupla para simples, que vai ficar

∫ 0 x ∫ 0 u e m x - t f t d t   d u =   ∫ 0 x ∫ t x e m x - t f t d u   d t = ∫ 0 x x - t e m x - t f t d t

Assim ficamos,

∫ 0 x ∫ 0 v ∫ 0 u e m x - t f t d t   d u   d v =   ∫ 0 x ∫ t x ∫ t v e m x - t f t d u   d v   d t  

= ∫ 0 x ∫ t x v - t e m x - t f t d v   d t

= ∫ 0 x 1 2 v - t 2 e m x - t f t t x d t =   ∫ 0 x x - t 2 2 e m x - t f t d t  

Resposta

∫ 0 x x - t 2 2 e m x - t f t d t  

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