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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 3

Calcule a integral iterada.

int_1^2 int_0^2 (y + 2 x e^y) d x d y

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, pra resolver essas integrais duplas devemos nos atentar para a ordem de integração. Para esse caso como temos ' d x d y ' vamos integrar primeiro em x e depois em y , além disso, quando integrarmos em uma variável vamos considerar a outra como constante. Como assim?

Se liguem, se estivermos integrando em d x ( n a v a r i á v e l x ) vamos considerar y como uma constante e poderemos calcular de igual maneira como fazíamos com uma integral simples.

Passo 2

Sendo assim, teremos

int_1^2 int_0^2 (y + 2 x e^y) d x d y

Calculando a integral ‘de dentro’ teremos

int_0^2 y + 2 x e^y d x = [x y + (2 x^2 e^y)/(2)]_0^2 = 2 y + 4 e^y

Continuando nossa integração teremos

int_1^2 2 y + 4 e^y d y = [(2 y^2)/(2) + 4 e^y]_1^2 = 2^2 + 4 e^2 - 1 - 4 e^1 = 3 + 4 e^2 - 4 e

Prontinho, tá resolvido nosso problema. Tranquilo, né?

Resposta

3 + 4 e^2 - 4 e

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Inverta a ordem de integração.
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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
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