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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8j

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação x ≤ y ≤ 1 que representa uma elipse. Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E

x ≤ y ≤ 1

Ou:

0 ≤ y ≤ 1

E

0 ≤ x ≤ y

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 y - x 4 + 2 - y 2 x 2 - 0 d x d y

V = ∫ 0 1 ∫ 0 y x 2 2 - x 2 - y 2 d x d y

V = ∫ 0 1 ∫ 0 y x 2 - x 2 - y 2 d x d y

Resolvendo a integral em relação à x através do método da substituição simples com u = 2 - x 2 - y 2 e d u = - 2 x d x , tem-se que:

Quando x = y → u = 2 - 2 y 2

Quando x = 0 → u = 2 - y 2

Então:

V = ∫ 0 1 ∫ 2 - y 2 2 - 2 y 2 u - d u 2 d y

Que resulta em:

V = ∫ 0 1 ∫ 2 - y 2 2 - 2 y 2 u - d u 2 d y

V = ∫ 0 1 - 1 2 2 3 u 3 / 2 | u = 2 - 2 y 2 u = 2 - y 2 d y

Substituindo o intervalo de integração:

V = ∫ 0 1 - 1 3 2 - 2 y 2 3 / 2 - 2 - y 2 3 / 2 d y

V = 1 3 ∫ 0 1 2 - y 2 3 / 2 - 2 - 2 y 2 3 / 2 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação à y , o problema pode ser resolvido através do método da substituição simples, com y = 2 s e n v e d y = 2 c o s v d v para o primeiro termo e y = s e n u e d y = c o s u d u para o segundo termo.

Também, fazendo as substituições tem-se que:

Quando y = 1 → u = π / 2 e v = π / 4

Quando y = 0 → u = 0 e v = 0

Então:

V = 1 3 ∫ 0 π / 4 2 - 2 s e n v 2 3 / 2 2 c o s v d v - ∫ 0 π / 2 2 - 2 s e n u 2 3 / 2 c o s u d u

V = 1 3 ∫ 0 π / 4 2 2 1 - s e n 2 v 3 / 2 2 c o s v d v - ∫ 0 π / 2 2 2 1 - s e n 2 u 3 / 2 c o s u d u

V = 1 3 ∫ 0 π / 4 4 c o s 4 v d v - ∫ 0 π / 2 2 2 c o s 4 u d u

V = 2 3 ∫ 0 π / 4 2 c o s 4 v d v - ∫ 0 π / 2 2 c o s 4 u d u

Utilizando a identidade trigonométrica

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

A integral pode ser reescrita como:

V = 2 3 2 ∫ 0 π / 4 1 + cos ⁡ 2 v 2 2 d v - 2 ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 u 2 2 d u

V = 2 3 1 2 ∫ 0 π / 4 1 + 2 cos ⁡ 2 v + c o s 2 2 v d v - 2 4 ∫ 0 π / 2 1 + 2 cos ⁡ 2 u + c o s 2 2 u d u

Fazendo uma substituição novamente:

V = 1 3 ∫ 0 π 4 1 + 2 cos ⁡ 2 v + 1 + cos ⁡ 4 v 2 d v - 2 2 ∫ 0 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 u + 1 + cos ⁡ 4 u 2 d u

V = 1 3 ∫ 0 π 4 3 2 + 2 cos ⁡ 2 v + cos ⁡ 4 v 2 d v - 2 2 ∫ 0 π 2 3 2 + 2 cos ⁡ 2 u + cos ⁡ 4 u 2 d u

V = 1 3 3 2 v + s e n 2 v + s e n 4 v 8 | v = π / 4 v = 0 - 2 2 3 2 u + s e n 2 u + s e n 4 u 8 | u = π / 2 u = 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração, todos os termos que possuem a função e resultem em s e n n π serão nulos. Portanto:

V = 1 3 3 2 π 4 + s e n π 2 - 2 2 3 2 π 2

V = 1 3 3 π 8 + 1 - 2 2 3 π 4

V = π 8 + 1 3 - 2 2 π 4

V = π 1 - 2 8 + 1 3

Resposta

π 1 - 2 8 + 1 3

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