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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 18bc

  1. A região entre a curva y = 2 / x e o eixo x de x = 1 a x = 4 é girada em torno do eixo x para gerar um sólido.
  1. Determine o centro de massa de uma placa fina que abrange a região, se a densidade da placa no ponto ( x , y ) for δ x = x .
  2. Esboce a placa e mostre o centro de massa em seu desenho.

Passo 1

A região tem uma forma um pouco parecida com a da questão anterior, então conseguimos calcular o centro de massa utilizando linhas verticais.

Porém devemos ter cuidado pois ele é limitado entre a função e o eixo x somente. Logo seu comprimento será de:

L = 2 x

Como sua largura será de d x logo nossa área será de:

d A = 2 x d x

E para calcular a massa basta multiplicar a área pela densidade, o que nos dá:

d m = δ 2 x d x

E como δ = x logo a massa será:

d m = 2 x x   d x

Como a função é em função de x logo seu x médio será:

x m = m

E o seu y médio:

y m = 2 x 2 = 1 x

Passo 2

Para calcular x - e y - temos que fazer as seguintes fórmulas:

x - = M y M = ∫ x   d m ∫ d m                                     y - = M x   M = ∫ y   d m ∫ d m

Calculando M :

∫ d m = ∫ 1 4 2 x x d x = ∫ 1 4 2 × x 1 / 2 × x - 1 = ∫ 1 4 2 x - 1 2 = 2 x 1 2 1 2 1 4  

M = 4 x 1 2 1 4

Aplicando o intervalo:

M = 4 × 2 - 4 = 4

Calculando agora M y temos:

M y = ∫ 1 4 x × 2 x x d x = ∫ 1 4 2 x   d x = 4 x 3 2 3 1 4

Aplicando o intervalo temos:

M y = 4 × 4 3 2 3 - 4 × 1 3 2 3 = 4 × 8 - 4 3 = 28 3

Calculando M x temos:

M x = ∫ 1 4 1 x × 2 x x d x = 2 ∫ 1 4 x x 2 d x = 2 ∫ 1 4 x 1 2 × x - 2 d x = 2 ∫ 1 4 x - 3 2 d x

Fazendo finalmente a integral temos:

M x = 2 x - 1 2 - 1 2 1 4 = - 4 x - 1 2 1 4 = - 4 2 + 4 = 2

Passo 3

Calculando x - :

x - = 28 3 4 = 7 3

E y - :

y - = 2 4 = 1 2

Resposta

b)Centro de massa:

x - , y - = 7 3 , 1 2

c)Gráfico da placa com o centro de massa:

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