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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região limitada pela parábola y = x - x 2 e pela reta y = - x .

Passo 1

As duas funções encontram-se em:

x - x 2 = - x

A resposta trivial serial x = 0

Dividindo a equação por x teríamos:

1 - x = - 1 → x = 2

Logo x varia de 0 até 2.

Não é obrigatório mas plotando os dois gráficos teríamos:

Porém na hora da prova como saber que tal função está acima da outra? Só testar num ponto intermediário.

Para x = 1

f 1 = x - x 2 = 1 - 1 = 0

f 1 = - x = - 1

Logo a função - x - x 2 está acima de - x

Passo 2

Pela forma do gráfico não podemos afirmar nenhuma simetria, logo temos que calcular x - e y - :

Por isso vamos calcular de antemão as ferramentas que precisamos:

x m = x

y m = x - x 2 + ( - x ) 2 = - x 2 2

Comprimento da linha:

x - x 2 + x = 2 x - x 2

Largura da linha = d x

Área:

d A = 2 x - x 2 d x

Massa:

d m = δ 2 x - x 2 d x

Função para calcular x - e y - :

x - = M y M

y - = M x M

Passo 3

Calculando M :

M = δ ∫ 0 2 2 x - x 2 d x = δ 2 x 2 2 - x 3 3 0 2 = δ 4 - 8 3 = 4 3 δ

Calculando M y :

M y = δ ∫ 0 2 x 2 x - x 2 d x → δ ∫ 0 2 2 x 2 - x 3 d x → δ 2 x 3 3 - x 4 4 0 2

M y = δ 16 3 - 4 = 4 3 δ

Finalmente calculando M x :

M x = δ ∫ 0 2 2 x - x 2 - x 2 2 d x

M x = δ 2 ∫ 0 2 - 2 x 3 + x 4 d x → δ 2 - 2 x 4 4 + x 5 5 0 2 → δ 2 - 16 2 + 32 5 = - 4 5 δ

Passo 4

Logo:

x - = 4 3 δ 4 3 δ = 1

y - = - 4 5 δ 4 3 δ = - 3 5

Resposta

Centro de massa:

1 , - 3 5

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