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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 80

A região limitada pela curva y = sech ⁡ x , o eixo x e as retas x = ± ln ⁡ 3 é girada em tomo do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.

Passo 1

O volume de um sólido girado em torno do eixo x é dado por:

V = π ∫ a b f x 2   d x

Então, o volume pedido é determinado por:

V = π ∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 sech ⁡ x 2   d x   = 2 π ∫ 0 ln ⁡ 3 sech ⁡ x 2   d x

Daí, é só integrar e jogar os limites de integração:

V = 2 π ∫ 0 ln ⁡ 3 sech ⁡ x 2   d x =     2 π ( tanh ⁡ x ) ] ln ⁡ 3 0 = 2 π ( tanh ⁡ ( ln ⁡ 3 ) - tanh ⁡   0 ) =   2 π tanh ⁡ ( ln ⁡ 3 )  

Passo 2

Temos que a tangente hiperbólica é dada por:

tanh ⁡ x =   e x - e - x e x + e - x

Aí substituímos o valor de x = ln ⁡ 3 ...

tanh ln  ⁡ √ 3 = e ln ⁡ 3 - e - ln ⁡ 3 e ln ⁡ 3 + e - ln ⁡ 3 =   3 - 1 3 3 + 1 3 = 2 3 4 3 = 2 4 = 1 2

Agora é só voltar para a relação do volume...

V = 2 π tanh ⁡ ( ln ⁡ 3 )   2 π 1 2 = π  

Resposta

V = π

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No Exercício ∫ 1 2 ln ⁡ x x d x , deduza uma primitiva do integrando. Verifique sua hipótese com derivação e, depois, calcule a integral definida dada. (Dica: tenha em mente a regra da cadeia ao deduz
No Exercícioy = ∫ 0 e x 21 td t , determine d y d x .
Determine a derivada no Exercício d d ϴ ∫ 0 t g ϴ s e c 2 yd y ϴ ϴ a. calculando a integral e derivando o resultado. b. derivando a integral diretamente.
Determine a derivada no Exercício d d x ∫ 0 x cos ⁡ td t a. calculando a integral e derivando o resultado. b. derivando a integral diretamente.
No Exercícioy = ∫ 0 s e nx1 1 - t 2d t , determine d y d x . Com x π 2