Verdadeiro ou falso? Quando x → infinito .

  1. x = o(x)
  2. x = o(x + 5)
  3. x = O(x + 5)
  4. x = O(2x)
  5. e^x = o(e^(2x))
  6. x + ln(x) = O(x)
  7. ln(x) = o(ln(2x))
  8. raiz(x^2 + 5) = O(x)

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x -> oo ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x -> oo :

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

(f ( x ))/(g ( x )) <= M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O (g) .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. underset(x -> oo)(lim) (x)/(x) = 1

    Logo, o item é falso. Pois as funções crescem à mesma ordem

    Passo 2

  2. underset(x -> oo)(lim) (x)/(x + 5) = (1)/(1) = 1

    Logo, o item é falso.

    Passo 3

(x)/(x + 5)

Temos que x < x + 5 -> (x)/(x + 5) < 1 para um x suficientemente grande

Concluímos que o item é verdadeiro

Passo 2

d)

Temos que x < 2 x -> (x)/(2 x) < 1 para um x suficientemente grande

Logo, concluímos que o tem é verdadeiro

Passo 3

  1. Vamos verificar o limite quando x -> oo .
  2. underset(x -> oo)(lim) (e^x)/(e^(2 x)) = underset(x -> oo)(l i m) (1)/(e^x) = 0

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 6

  3. (x + ln x)/(x) = 1 + (ln x)/(x) < 1 + (sqrt(x))/(x) = 1 + (1)/(sqrt(x)) < 2
  4. Para um x suficientemente grande, logo o item é verdadeiro

    Passo 7

  5. Façamos:
  6. underset(x -> oo)(l i m) (ln x)/(ln 2 x) = underset(x -> oo)(l i m) ((1)/(x))/((2)/(2 x)) = underset(x -> oo)(l i m) 1 = 1

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 8

  7. Vamos verificar:

(sqrt(x^2 + 5))/(x) < (sqrt((x + 5)^2))/(x) < (x + 5)/(x) < 6

Para um x suficientemente grande, logo o item é verdadeiro

Resposta

São Verdadeiros: c,d,e,f,h,

São Falsos: a,b,g

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