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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.4 - Ex. 9

Verdadeiro ou falso? Quando x -> oo .

  1. x = o ( x )
  2. x = o ( x + 5 )
  3. x = O ( x + 5 )
  4. x = O ( 2 x )
  5. e^x = o ( e^(2 x) )
  6. x + ln x = O ( x )
  7. ln x = o ( ln 2 x )
  8. sqrt(x^2 + 5) = O ( x )

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x -> oo ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x -> oo :

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

(f ( x ))/(g ( x )) <= M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O (g) .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. underset(x -> oo)(lim) (x)/(x) = 1

    Logo, o item é falso. Pois as funções crescem à mesma ordem

    Passo 2

  2. underset(x -> oo)(lim) (x)/(x + 5) = (1)/(1) = 1

    Logo, o item é falso.

    Passo 3

(x)/(x + 5)

Temos que x < x + 5 -> (x)/(x + 5) < 1 para um x suficientemente grande

Concluímos que o item é verdadeiro

Passo 2

d)

Temos que x < 2 x -> (x)/(2 x) < 1 para um x suficientemente grande

Logo, concluímos que o tem é verdadeiro

Passo 3

  1. Vamos verificar o limite quando x -> oo .

    2. underset(x -> oo)(lim) (e^x)/(e^(2 x)) = underset(x -> oo)(l i m) (1)/(e^x) = 0

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 6

  2. (x + ln x)/(x) = 1 + (ln x)/(x) < 1 + (sqrt(x))/(x) = 1 + (1)/(sqrt(x)) < 2

    3. Para um x suficientemente grande, logo o item é verdadeiro

    Passo 7

  3. Façamos:

    4. underset(x -> oo)(l i m) (ln x)/(ln 2 x) = underset(x -> oo)(l i m) ((1)/(x))/((2)/(2 x)) = underset(x -> oo)(l i m) 1 = 1

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 8

  4. Vamos verificar:

(sqrt(x^2 + 5))/(x) < (sqrt((x + 5)^2))/(x) < (x + 5)/(x) < 6

Para um x suficientemente grande, logo o item é verdadeiro

Resposta

São Verdadeiros: c,d,e,f,h,

São Falsos: a,b,g

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