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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 53

No Exercício y = int_0^(e^(x^2)) (1)/(sqrt(t)) d t , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos derivando dos dois lados:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) int_0^(e^(x^2)) (1)/(sqrt(t)) d t

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) int_0^(e^(x^2)) (1)/(sqrt(t)) d t

= (1)/(sqrt(e^(x^2))) . ( e^(x^2) ) '

= (1)/(sqrt(e^(x^2))) . e^(x^2) . 2 . x

Resposta

(d y)/(d x) = (e^(x^2) . 2 . x)/(sqrt(e^(x^2)))

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