38 – A região no primeiro quadrante limitada em cima pela curva y = 1 / raiz(x) a esquerda pela reta x = 1 / 4 e abaixo da reta y = 1 é girada em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido pelo:

A – Método do anel.

Passo 1

.

Deste modo temos que nas coordenada de y a figura é limitada a = 1   e   b = 2

Já para as coordenadas de x ela está limitada em a = 1 4   e   b = 1

Descobriremos a função em torno de x:

y = 1 x ,   y = x - 1 2 → x = 1 y 2   e   x = 1 4

Passo 2

Resolver em torno do eixo x:

Fórmula:

V = π ∫ a b R y 2 - r y 2   d y

Inserindo na fórmula teremos:

V = π ∫ 1 2 1 y 2 2 - 1 4 2   d y

V = π ∫ 1 2 1 2 y 2 2 - 1 2 4 2   d y

V = π ∫ 1 2 1 y 4 - 1 16 d y = π ∫ 1 2 y - 4 - 1 16

Resolvendo a integral teremos:

π y - 4 + 1 - 4 + 1 - y 16 1 2 = π y - 3 - 3 - y 16 1 2 = π - y - 3 3 - y 16 1 2 = π - 1 y 3 3 - y 16 1 2 = π - 1 3 y 3 - y 16 1 2

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

π - 1 3 ⋅ 2 3 - 2 16 - - 1 3 - 1 16 = π - 1 24 - 1 8 + 1 3 + 1 16

Resolvendo dentro dos colchetes:

π - 2 - 6 + 16 + 3 48 = π 11 48 = 11 π 48 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

11 π 48 u . v .

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