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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 40

40 – A região apresentada aqui gira em tomo do eixo y para gerar um sólido. Qual método ( do disco, do anel, da casca) você usaria para determinar o volume do sólido? Quantas integrais seriam necessárias em cada caso? Justifique sua resposta.

Passo 1

Pelo método do disco teremos:

V = V 1 - V 2 - V 3

Como esta em torno do eixo y teremos que organizar a função:

y = x 2 ⇒ x = y

y = - x 4 ⇒ x = - y 1 4

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ a 1 b 1 π R 1 y 2   d y - ∫ a 2 b 2 π R 2 y 2   d y - ∫ a 3 b 3 π R 3 y 2   d y

Assim teremos:

R 1 y = 1 |   R 2 y =   y   e   R 3 y = - y 1 4    

Para os limites de integração temos:

a 1 = - 1   e   b 1 = 1

a 2 = 0   e   b 2 = 1

a 3 = - 1   e   b 3 = 0

Como não solicita que resolvamos o exercício, podemos concluir que pelo método do disco três integrais são necessárias! Não seria necessário nem demonstrar o apresentado apenas observar que como requer a integral de V1, V2 e V3 ela necessitará de no mínimo três integrais.

Passo 2

Pelo método do anel:

V = V 1 + V 2

Calcular o primeiro volume:

V 1 = ∫ a 1 b 1 π R 1 x 2 - r 1 x 2   d x

V 2 = ∫ a 2 b 2 π R 2 x 2 - r 2 x 2   d x

No qual:

R 1 x = 1   e   r 1 x = y   ;

R 2 x = 1     e   r 2 x = - y 1 4  

E limites de integração seriam: a 1 = 0   e   b 1 = 1 ,   a 2 = - 1   e   b 2 = 0

Assim seriam necessárias Duas Integrais.

Passo 3

Pelo método da casca:

V =   ∫ a b 2 π r a i o a l t u r a   d x = 2 π ∫ a b x a l t u r a   d x

Observe que deveremos achar a altura, para isto fazemos:

x 2 - - x 4 = x 2 + x 4

E os limites de integração seriam: a = 0   e   b = 1

Podemos concluir que seriam necessárias apenas uma integral, sendo este método mais eficiente.

Resposta

O método mais eficiente é o da casca.

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