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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 37a

37 – A região no primeiro quadrante limitada em cima pela curva y = 1 x 1 4 a esquerda pela reta x = 1 16 e abaixo da reta y = 1 é girada em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido pelo:

A – Método do anel.

Passo 1

Deste modo temos que nas coordenada de y a figura é limitada a = 1   e   b = 2

Já para as coordenadas de x ela está limitada em a = 1 16   e   b = 1

Este será nosso limite de integração através dos eixos, porém temos que ter em mente que quando a figura rotaciona em torno de um eixo seus valores mudam, porém as funções já estabelecidas no enunciado estão em torno do eixo x.

Deste modo, não precisaremos mudar as expressões, vamos lá?

Passo 2

Resolver em torno do eixo x:

Fórmula:

V = π ∫ a b R x 2 - r x 2   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = π ∫ 1 16 1 1 x 1 4 2 - 1 2 d x

V = π ∫ 1 16 1 1 2 x 1 4 2 - 1   d x  

V = π ∫ 1 16 1 1 x 1 2 - 1   d x  

V = π ∫ 1 16 1 x - 1 2 - 1   d x

Resolvendo a integral teremos:

π x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 - x 1 / 16 1 = π x 1 2 1 2 - x 1 / 16 1 = π 2 x - x 1 / 16 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

π 2 1 - 1 - 2 1 16 - 1 16 = π 1 - 2 1 16 - 1 16 = π 1 - 2 4 - 1 16 = π 1 - 1 2 + 1 16

Resolvendo dentro dos colchetes:

π 16 - 8 + 1 16 = π 9 16 = 9 π 16 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

9 π 16 u . v .

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