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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 9c

9 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada à esquerda pela parábola x = y 2 + 1   e à direita pela reta x = 5 em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 5

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Para calcular o volume usaremos o método do disco:

V =   ∫ a b π R ( y ) 2 d y

Primeiramente se observarmos na imagem os pontos para o eixoyx, são 2 e -2, estes será nosso limites de integração.

R y = 5 - y 2 + 1 → 5 - y 2 - 1 ⇒ 4 - y 2

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 2   e   b = - 2 .

V = π ∫ - 2 2 4 - y 2 2   d y

V = π ∫ - 2 2 y 4 - 8 y 2 + 16   d y

Resolvendo os limites de integração:

π y 5 5 - 8 y 3 3 + 16 y - 2 2

Subsituindo com os limites:

π 2 5 5 - 8 ⋅ 2 3 3 + 16 ⋅ 2 - - 2 5 5 - 8 ⋅ - 2 3 3 + 16 ⋅ - 2

π 32 5 - 64 3 + 32 - - 32 5 + 64 3 - 32

π 32 5 - 64 3 + 32 + 32 5 - 64 3 + 32  

π 64 5 + 64 - 128 3

Resolvendo os colchetes:

π 192 + 960 - 640 15 = π 512 15 = 512 π 15   u . v .

Resposta

512 π 15   u . v .

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