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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 25b

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

25 - y = x + 2 ,   y = x 2

B – A reta x   = - 1 .

Passo 1

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d x

Primeiramente precisamos encontrar os limites de integração:

x + 2 = x 2

Igualando a equação do segundo grau a 0:

x 2 - x - 2 = 0

Os limites de integração será as raízes da equação do segundo grau acima, portante como não é o foco do exercício não iremos fazer o cálculos das raízes, mas possuem vários métodos para obter as raízes.

Assim teremos: x 1 = - 1   e   x 2 = 2

Alterando a função: y =   2 + 2 - x 2

Para o raio teremos: x + 1

V =   2 π ∫ - 1 2 x + 1 x + 2 - x 2 d x = 2 π ∫ - 1 2 - x 3 + 3 x + 2   d x =

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π - x 4 4 + 3 x 2 2 + 2 x - 1 2

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π - 2 4 4 + 3 ⋅ 2 2 2 + 2 ⋅ 2 - - - 1 4 4 + 3 ⋅ - 1 2 2 + 2 ⋅ ( - 1 )

V = 2 π - 16 4 + 6 + 4 - - 1 4 + 3 2 - 2   = 2 π - 4 + 6 + 4 + 1 4 - 3 2 + 2 = 2 π 8 + 1 4 - 3 2

V = 2 π 27 4 = 27 π 2 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

Assim o volume será: V = 27 π 2 u . v .

.

Ver Outros Exercícios desse livro

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44- Deduza a equação do volume de uma esfera de raio r usando o método da casca.
Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. 28 – A – O eixo x.
Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. 27 – C – A reta y = 8 5 .
Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. 27 – D – A reta y = - 2 5 .
Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B