Represente graficamente as curvas nos Exercícios 37-46

  1. Em que ponto os gráficos parecem ter tangentes verticais?
  2. Confirme as suas conclusões no item (a) com cálculos de limite. Mas, antes disso, leia a introdução dos Exercícios 35 e 36.

y = 4 * x^(2/5) - 2x

Passo 1

Para responder a letra a, vamos precisar fazer um esboço da função em um gráfico

Olhando para o gráfico parece que a função possui tangente vertical em x = 0 .

Passo 2

Agora precisamos concluir com cálculos se o que a gente definiu na letra a está correto. Para isso precisamos lembrar da definição de derivada

m = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Passo 3

Substituindo a função f x na equação acima

m = lim h → 0 ⁡ 4 x + h 2 5 - 2 x + h - 4 x 2 5 - 2 x h

Depois vamos substituir o valor de x dado

m = lim h → 0 ⁡ 4 0 + h 2 5 - 2 0 + h - 4 ∙ 0 2 5 - 2 ∙ 0 h

m = lim h → 0 ⁡ 4 h 2 / 5 - 2 h h

m = lim h → 0 ⁡ 4 h 3 5 - 2

Passo 4

Aplicando os limites laterais

m = lim h → 0 - ⁡ 4 h 3 5 - 2 = - ∞

m = lim h → 0 + ⁡ 4 h 3 5 - 2 = ∞

lim h → 0 + ⁡ 1 h 2 5 ≠ lim h → 0 - ⁡ 1 h 2 5

Como os limites laterais são diferentes, f x não possui limite nem tangente vertical em x = 0 .

Resposta

f ( x ) não possui tangente vertical em x = 0

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