De acordo com a Lei de Kepler, os planetas no nosso sistema solar movem-se em órbitas elípticas em torno do Sol. Se a posição do planeta mais próximo do Sol ocorrer no instante , então a distância do centro do planeta até o centro do sol em um instante posterior pode ser determinada pela equação

onde é a distância média entre os centros, é uma constante positiva que mede o achatamento da órbita elíptica e é a solução da equação de Kepler

na qual é o tempo levado para uma órbita completa do planeta. Estime a distância da Terra ao Sol quando dias. [Primeiro, ache da equação de Kepler e, então, use esse valor para encontrar a distância. Use km, e dias.]

Para achar a derivada de vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica, da função constante e do polinômio:

Vamos calcular :

Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:

Vamos agora analisar qual valor usar para , vamos usar , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:

Mais uma vez, agora com :

Vamos lá, uma hora acaba, agora :

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .

Agora vamos substituir esse valor na equação para encontrar a distância :

Pronto, temos que a distância do centro do planeta até o centro do sol é de km.