Enunciado

Represente graficamente as curvas nos Exercícios 37-46

  1. Em que ponto os gráficos parecem ter tangentes verticais?
  2. Confirme as suas conclusões no item (a) com cálculos de limite. Mas, antes disso, leia a introdução dos Exercícios 35 e 36.

y = x 5 / 3 - 5 x 2 / 3

Passo 1

Para responder a letra a, vamos precisar fazer um esboço da função em um gráfico

Olhando para o gráfico parece que a função possui tangente vertical em x = 0 .

Passo 2

Agora precisamos concluir com cálculos se o que a gente definiu na letra a está correto. Para isso precisamos lembrar da definição de derivada

m = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Passo 3

Vamos substituir a função f x na equação acima

m = lim h → 0 ⁡ x + h 5 / 3 - 5 x + h 2 / 3 - x 5 / 3 - 5 x 2 / 3 h

Em seguida vamos substituir o valor de x definido

m = lim h → 0 ⁡ 0 + h 5 / 3 - 5 0 + h 2 / 3 - 0 5 / 3 - 5 ∙ 0 2 / 3 h

m = lim h → 0 ⁡ h 2 / 3 - 5 h 1 / 3

Passo 4

Aplicando os limites laterais

m = lim h → 0 - ⁡ h 2 / 3 - 5 h 1 / 3 = ∞

m = lim h → 0 + ⁡ h 2 / 3 - 5 h 1 / 3 = - ∞

lim h → 0 + ⁡ h 2 / 3 - 5 h 1 / 3 ≠ lim h → 0 - ⁡ h 2 / 3 - 5 h 1 / 3

Como os limites laterais são diferentes, f x não possui limite nem tangente vertical em x = 0 .

Resposta

f ( x ) não possui tangente vertical em x = 0

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