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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 41

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

41-

y = x 2 - 3 x - 2

Passo 1

Fazendo a primeira derivada nós teremos:

y ' = x 2 - 3 ' x - 2 - x 2 - 3 x - 2 ' x - 2 2

Resolvendo a regra do quociente:

y ' = 2 x x - 2 - ( x 2 - 3 ) x - 2 2

y ' = x 2 - 4 x + 3 x - 2 2 ∴ ( x - 1 ) ( x - 3 ) x - 2 2

Agora fazendo a segunda derivada:

y ' ' = x 2 - 4 x + 3 ' x - 2 2 - ( x 2 - 4 x + 3 ) ( x - 2 2 ) ' x - 2 4

Fazendo a regra do quociente:

y ' ' = 2 x - 4 x - 2 2 - ( x 2 - 4 x + 3 ) ( 2 x - 4 ) x - 2 4

y ' ' = 2 x - 2 [ x - 2 2 - x 2 - 4 x + 3 ] x - 2 4 ∴ 2 [ 1 ] x - 2 3

y ' ' = 2 x - 2 3

Passo 2

Analisando y’ nós temos como raízes :

x = 1 ;       x = 3

Esses são os pontos críticos da função

E temos no denominador um assíntota vertical

x = 2

Passo 3

Agora analisando a derivada segunda nós podemos ver que não existe nenhum ponto de inflexão, já que não existe variável no numerador não tendo como dar 0.

Agora os valores de máximo e mínimo:

Para x = 1

y ' ' 1 = 2 1 - 2 3 = - 2

Logo x=1 é máximo local, concavidade para baixo.

Para x = 3

y ' ' 3 = 2 3 - 2 3 = 2

Logo x = 3 é mínimo local, concavidade para cima.

Passo 4

Agora precisamos ver se tem assíntotas horizontais, então precisamos fazer os limites nas suas assíntotas.

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x - 2   L ' H o p i t a l → 2 x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 3 x - 2   L ' H o p i t a l → 2 x = - ∞

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 3 x - 2 = + ∞

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 3 x - 2 = - ∞

Passo 5

Agora vamos organizar os intervalos:

Valores de x para teste: 0, 1.5, 2.5, 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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