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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 8

Resolva y ( ln x - ln y ) d x = (x ln x - x ln y - y) d y .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

y ( ln x - ln y ) d x = (x ln x - x ln y - y) d y .

Bom, se a gente escrever assim:

y (ln (x)/(y)) d x - (x ln (x)/(y) - y) d y = 0

Temos uma equação homogênea!

Agora a gente tem que lembrar como resolve isso, vem comigo!

Passo 2

Pra resolver esse tipo de equação, a gente faz aquele esquema de substituição. No nosso caso, a parte com d x é mais simples, então a gente vai fazer x = u y .

Derivando a gente tem:

d x = u d y + y d u

Aí a gente substitui isso na nossa EDO:

y (ln u) (u d y + y d u) - (u y ln u - y) d y = 0

u y l n u d y + y^2 ln u d u - u y ln u d y + y d y = 0

y^2 ln u d u = - y d y

y ln u d u = - d y

ln u d u = - (d y)/(y)

Show! Chegamos a uma EDO separável (já separada, na verdade)...

Passo 3

Agora a gente vai integrar dos dois lados pra resolver...

int ln u d u = int - (d y)/(y)

u l n u - u = - ln y + C

u ln u - u + ln y = C

Como x = u y , temos u = (x)/(y) :

(x)/(y) ln (x)/(y) - (x)/(y) + ln y = C

E pronto! Equação resolvida! 😉

Resposta

(x)/(y) ln (x)/(y) - (x)/(y) + ln y = C

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