Resolva cada equação em x .

a) 2^(x-5) = 3 b) ln(x) + ln(x-1) = 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver as equações (a) 2 x - 5 = 3 e (b) ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 = 1 em x . Isso significa que temos que encontrar o valor de x em cada uma delas.

Pra isso, vamos aplicar algumas propriedades de logaritmo, simplificar a nossa equação e isolar x .

Vamos lá!

Passo 2

Em a), temos:

2 x - 5 = 3

Para resolver em x , precisamos deixar o x isolado, certo? Vamos fazer isso aplicando logaritmo de base 2 nos dois lados da igualdade, escolhi a base 2 pois nós temos o 2 elevado ao x - 5 .

log 2 ⁡ 2 x - 5 = log 2 ⁡ 3

Agora eu vou usar a propriedade log ⁡ a b = b log ⁡ a e log a ⁡ a = 1 .

( x - 5 ) log 2 ⁡ 2 = log 2 ⁡ 3

x - 5 = log 2 ⁡ 3

E isolando x , temos:

x = log 2 ⁡ 3 + 5

Passo 3

Em b), temos:

ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 = 1

Aqui vamos usar a propriedade 1 = ln ⁡ e . Então, temos:

ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 = ln ⁡ e

ln ⁡ x - 1 = ln ⁡ e - ln ⁡ x

Agora usando a propriedade ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , vamos ter:

ln ⁡ ( x - 1 ) = ln ⁡ e x

Como a função logaritmo é injetora, então:

x - 1 = e x      

→   x 2 - x = e  

  x 2 - x - e = 0  

Agora basta resolver essa equação de segundo grau. Usando Bhaskara, temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = 1 ± 1 + 4 e 2

Como x deve ser positivo, de acordo com a nossa equação, temos ln ⁡ x e o domínio é x > 0 . Então, ficamos apenas com:

x = 1 + 1 + 4 e 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) x = log 2 ⁡ 3 + 5

b) x = 1 + 1 + 4 e 2

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