Se usarmos, para esse caso que
x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(x) + overset(˙)(x) + x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + lambda + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 1) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 1) = 0 -> lambda^2 + lambda + 1 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = 1 e c = 1
, assim:
lambda^' e lambda " = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4 (1) (1)))/(2 (1)) = - (1)/(2) +- (sqrt(- 3))/(2)
Passo 2
Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que
i^2 = - 1
:
- (1)/(2) +- (sqrt(3 i^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(3 ( i )^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(3))/(2) i = - (1)/(2) +- (sqrt(3))/(2) i
Passo 3
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 e lambda_2
são números complexos podemos afirmar que:
x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)
Lembrando que:
lambda = alpha +- beta i
Para o nosso caso:
alpha = - (1)/(2) e beta = (sqrt(3))/(2)
Assim, substituindo os valores de
alpha e beta
:
x (t) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(3))/(2) t + B sin (sqrt(3))/(2) t]