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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 5

Resolva a equação diferencial:

x (d y)/(d x) + 2 y = 1 - (1)/(x) x > 0

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por x , pois o coeficiente de (d y)/(d x) deve ser 1. E vamos escrever (d y)/(d x) como y^' . Beleza?

y^' + (2)/(x) y = (1)/(x) - (1)/(x^2)

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = (2)/(x) ; f (x) = (1)/(x) - (1)/(x^2)

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int (2)/(x) d x) = e^(2 l n x) = e^(ln x^2) = x^2

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y^' . x^2 + x^2 . (2)/(x) y = x^2 . (1)/(x) - x^2 . (1)/(x^2)

y^' . x^2 + 2 x y = x - 1

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d)/(d x) (x^2 . y) = x - 1

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

x^2 . y = int ( x - 1 ) d x

x^2 . y = (x^2)/(2) - x + c

y = (1)/(2) - (1)/(x) + (c)/(x^2) x > 0

Resposta

y = (1)/(2) - (1)/(x) + (c)/(x^2) x > 0

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