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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 1f

Calcule

(d T)/(d t) = - 2 (T - 3) , t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

(d T)/(d t) = T g (t) + f (t)

Teremos esse resultado:

T = k e^(int g (t) d t) + e^(int g (t) d t) int f (t) e^(- int g (t) d t) d t (k in R)

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f (t) , o fator integrante será:

e^(- int g (t) d t)

Para o nosso caso o fator integrante será:

e^(- int - 2 d t) = e^(2 t)

Assim fazemos:

(d T)/(d t) - T g (t) = f (t)

[(d T)/(d t) - T g (t)] e^(- int g (t) d t) = f (t) e^(- int g (t) d t)

Vemos que [(d T)/(d t) - T g (t)] e^(- int g (t) d t) nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

(d (T e^(- int g (t) d t)))/(d t) = [(d T)/(d t) - T g (t)] e^(- int g (t) d t)

Assim:

[(d (T e^(- int g (t) d t)))/(d t)] = f (t) e^(- int g (t) d t)

Agora faremos integral dos dois lados:

int [(d (T e^(- int g (t) d t)))/(d t)] d t = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t

T e^(- int g (t) d t) + k = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

T e^(- int g (t) d t) = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t + k

Por fim:

T = k e^(int g (t) d t) + e^(int g (t) d t) int f (t) e^(- int g (t) d t) d t (k in R)

Para o e^(int g (t) d t) , teremos:

e^(int - 2 d t) = e^(- 2 t)

Então, para o nosso caso teremos:

T = k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) int 6 e^(2 t) d t

Passo 2

Vamos ficar com:

T = k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) int 6 e^(2 t) d t

Se aplicarmos a substituição: u = 2 t -> d u = 2 d t

T = k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) xx (1)/(2) int 6 e^u d u

T = k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) xx 3 e^u

Voltando pra variável t :

T = k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) xx 3 e^(2 t) = k e^(- 2 t) + 3

Resposta

T = k e^(- 2 t) + 3

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