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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 1j

Calcule

(d y)/(d x) = (y)/(x^2 - 1) , - 1 < x < 1

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

(d y)/(d x) = y g (x) + f (x)

Teremos esse resultado:

y = k e^(int g (x) d x) + e^(int g (x) d x) int f (x) e^(- int g (x) d x) d x (k in R)

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com y e o outro lado o f (x) , o fator integrante será:

e^(- int g (x) d x)

Para o nosso caso o fator integrante será:

e^(- int (1)/(x^2 - 1) d x)

Podemos resolver por frações parciais:

int (1)/(x^2 - 1) d x = int (1)/((x - 1) (x + 1)) d x

(1)/((x - 1) (x + 1)) = (A)/((x - 1)) + (B)/((x + 1))

(1)/((x - 1) (x + 1)) = (A (x + 1) + B (x - 1))/((x - 1) (x + 1))

1 = A (x + 1) + B (x - 1)

Vamos substituir x = 1 :

1 = A (1 + 1) + B (1 - 1) -> 2 A = 1 -> A = (1)/(2)

Vamos substituir x = - 1 :

1 = A (- 1 + 1) + B (- 1 - 1) -> - 2 B = 1 -> B = - (1)/(2)

(1)/((x - 1) (x + 1)) = (1)/(2) (1)/((x - 1)) - (1)/(2) (1)/((x + 1))

int (1)/((x - 1) (x + 1)) d x = int (1)/(2) (1)/((x - 1)) - (1)/(2) (1)/((x + 1)) d x =

(1)/(2) int (1)/((x - 1)) d x - (1)/(2) int (1)/((x + 1)) d x = (1)/(2) ln |x - 1| - (1)/(2) ln |x + 1|

Ufa! Por fim temor o fator integrante:

e^(- ((1)/(2) ln |x - 1| - (1)/(2) ln |x + 1|)) = e^((ln (x + 1)^((1)/(2)) - ln (x - 1)^((1)/(2)))) = e^(ln (((x + 1)^((1)/(2)))/((x - 1)^((1)/(2))))) = ((x + 1)^((1)/(2)))/((x - 1)^((1)/(2))) = sqrt(((x + 1))/(x - 1))

Assim fazemos:

(d y)/(d x) - y g (x) = f (x)

[(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x) = f (x) e^(- int g (x) d x)

Vemos que [(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x) nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x) = [(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x)

Assim:

[(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x)] = f (x) e^(- int g (x) d x)

Agora faremos integral dos dois lados:

int [(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x)] d t = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x

y e^(- int g (x) d x) + k = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

y e^(- int g (x) d x) = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x + k

Por fim:

y = k e^(int g (x) d x) + e^(int g (x) d x) int f (x) e^(- int g (x) d x) d x , (k in R)

Para o e^(int g (x) d x) , teremos:

e^(int (1)/(x^2 - 1) d x) = sqrt(((x - 1))/(x + 1))

Então, para o nosso caso teremos:

y = k sqrt(((x - 1))/(x + 1)) + sqrt(((x - 1))/(x + 1)) int (0) sqrt(((x + 1))/(x - 1)) d x

Passo 2

Vamos ficar com:

y = k sqrt(((x - 1))/(x + 1)) + sqrt(((x - 1))/(x + 1)) int (0) sqrt(((x + 1))/(x - 1)) d x

y = k sqrt(((x - 1))/(x + 1)) + (0) = y = k sqrt(((x - 1))/(x + 1))

Assim:

y = k sqrt(((x - 1))/(x + 1))

Resposta

y = k sqrt(((x - 1))/(x + 1))

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