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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 1e

Calcule

(d y)/(d x) = x - y , t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

(d y)/(d x) = y g (x) + f (x)

Teremos esse resultado:

y = k e^(int g (x) d x) + e^(int g (x) d x) int f (x) e^(- int g (x) d x) d x (k in R)

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com y e o outro lado o f (x) , o fator integrante será:

e^(- int g (x) d x)

Para o nosso caso o fator integrante será:

e^(- int - 1 d x) = e^x

Assim fazemos:

(d y)/(d x) - y g (x) = f (x)

[(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x) = f (x) e^(- int g (x) d x)

Vemos que [(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x) nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x) = [(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x)

Assim:

[(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x)] = f (x) e^(- int g (x) d x)

Agora faremos integral dos dois lados:

int [(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x)] d t = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x

y e^(- int g (x) d x) + k = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

y e^(- int g (x) d x) = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x + k

Por fim:

y = k e^(int g (x) d x) + e^(int g (x) d x) int f (x) e^(- int g (x) d x) d x , (k in R)

Para o e^(int g (x) d x) , teremos:

e^(int - 1 d x) = e^(- x)

Então, para o nosso caso teremos:

y = k e^(- x) + e^(- x) int x e^x d x

Passo 2

Vamos ficar com:

y = k e^(- x) + e^(- x) int x e^x d x

Precisamos descobrir o que é:

int x e^x d x

Podemos fazer por partes:

int x e^x d x = x e^x - int e^x d x

int x e^x d x = x e^x - e^x

Assim:

y = k e^(- x) + e^(- x) (x e^x - e^x) = k e^(- x) + x - 1

Resposta

y = k e^(- x) + x - 1

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