Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 1e

Calcule

(d y)/(d x) = x - y , t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

(d y)/(d x) = y g (x) + f (x)

Teremos esse resultado:

y = k e^(int g (x) d x) + e^(int g (x) d x) int f (x) e^(- int g (x) d x) d x (k in R)

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com y e o outro lado o f (x) , o fator integrante será:

e^(- int g (x) d x)

Para o nosso caso o fator integrante será:

e^(- int - 1 d x) = e^x

Assim fazemos:

(d y)/(d x) - y g (x) = f (x)

[(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x) = f (x) e^(- int g (x) d x)

Vemos que [(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x) nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x) = [(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x)

Assim:

[(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x)] = f (x) e^(- int g (x) d x)

Agora faremos integral dos dois lados:

int [(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x)] d t = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x

y e^(- int g (x) d x) + k = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

y e^(- int g (x) d x) = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x + k

Por fim:

y = k e^(int g (x) d x) + e^(int g (x) d x) int f (x) e^(- int g (x) d x) d x , (k in R)

Para o e^(int g (x) d x) , teremos:

e^(int - 1 d x) = e^(- x)

Então, para o nosso caso teremos:

y = k e^(- x) + e^(- x) int x e^x d x

Passo 2

Vamos ficar com:

y = k e^(- x) + e^(- x) int x e^x d x

Precisamos descobrir o que é:

int x e^x d x

Podemos fazer por partes:

int x e^x d x = x e^x - int e^x d x

int x e^x d x = x e^x - e^x

Assim:

y = k e^(- x) + e^(- x) (x e^x - e^x) = k e^(- x) + x - 1

Resposta

y = k e^(- x) + x - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a equação diferencial é linear.y^' = (1)/(x) + (1)/(y)
Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para traçar vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando C varia? x y ' = x 2 + 2 y
(a) Mostre que a substituição z = 1 P transforma a equação diferencial logística P ' = k P ( 1 - P M ) na equação diferencial linear z ' + k z = k M (b) Resolva a equação diferencial no item (a) para
7. Um material radioativo se desintegra a uma taxa de d m d t proporcional a m , onde m = m ( t ) é a quantidade de matéria no instante t . Supondo que a quantidade inicial (em t = 0 ) de matéria seja
9. Determine a função y = f x ,x0 , cujo gráfico passa pelo ponto 1,2 e que goza da propriedade : a área do triangulo de vértices ( 0,0 ) , x , y e 0 , m , m0 é igual a 1 , para todo ( x , y ) no gráf