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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 12

Resolva a equação diferencial

x y^' - y = 2 x ln x

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y^' + p (x) y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

(d)/(d x) (v y) = v * q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y^' + p (x) y = q (x) . Portanto, temos:

x y^' - y = 2 x ln x

y^' - (1)/(x) * y = 2 ln x

Portanto a função p (x) = - 1 // x . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

v = e^(e^(int (- 1)/(x) d x)) = e^(- 1 ln |x|)

v = e^(ln (|x|)^(- 1) ) = x^(- 1)

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v * (y^' - (1)/(x) * y) = v * 2 ln x

x^(- 1) * ((d y)/(d x) - (1)/(x) * y) = x^(- 1) * 2 ln x

(d)/(d x) [x^(- 1) * y] = (2 ln x)/(x)

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

x^(- 1) * y = 2 int (ln x)/(x) d x

y = 2 x * int (ln x)/(x) d x

Passo 5

Para resolvermos a integral acima, vamos fazer uma substituição. Se u = ln x , d u = d x // x . Desta forma,

int (ln x)/(x) d x = int u d u = (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

(u^2)/(2) + k = ((ln x)^2)/(2) + k

Sendo assim, a solução da EDO é dada por:

y = 2 x * (((ln x)^2)/(2) + k)

y = x (ln x)^2 + k x

Resposta

y = x (ln x)^2 + k x

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