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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 26

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x 2 + x d y = x 5 + 3 x y + 3 y d x

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por d x

x 2 + x d y d x = x 5 + 3 x y + 3 y

Agora dividindo tudo por x 2 + x :

d y d x = x 5 + 3 x y + 3 y x 2 + x

d y d x - 3 x y = x 4 x + 1     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = - 3 x e B x = x 4 x + 1 então:

I x = e ∫ - 3 x   d x

I x = e - 3 l n | x | = 1 x 3

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 1 x 3 ∫ 1 x 3 x 4 x + 1   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ 1 x 3 x 4 x + 1   d x = ∫ x x + 1   d x

∫ 1 x 3 x 4 x + 1   d x = x + 1 - l n ⁡ | x + 1 |

Substituindo em ( I I I )

y x = x ³ x + 1 - l n ⁡ | x + 1 | + c

y x = x 4 + x 3 - x 3 . ln ⁡ x + 1 + c x ³

Com:

- 1 < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = x 4 + x 3 - x 3 . ln ⁡ x + 1 + c x ³

- 1 < x < ∞

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