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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 14

Resolva a equação diferencial

e^(- x) d y + (e^(- x) y - 4 x) d x = 0

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y^' + p (x) y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

(d)/(d x) (v y) = v * q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y^' + p (x) y = q (x) . Portanto, temos:

e^(- x) d y + (e^(- x) y - 4 x) d x = 0

e^(- x) (d y)/(d x) + e^(- x) y = 4 x

(d y)/(d x) + y = 4 x e^x

Portanto a função p (x) = 1 . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e^(int 1 d x)

v = e^x

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v * (y^' + y) = v * 4 x e^x

e^x * ((d y)/(d x) + y) = e^x 4 x e^x

(d)/(d x) [(1 + e^x) * y] = 4 x e^(2 x)

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

e^x * y = 4 * int x e^(2 x) d x

Chegamos agora em uma integral que só conseguimos resolver ao utilizarmos a técnica de integração por partes.

Passo 5

Relembrando, na integração por partes, temos:

int u d v = u v - int v d u

Portanto, seja u = x e d v = e^(2 x) . Consequentemente, d u = d x e v = e^(2 x) // 2 . Substituindo isto na relação acima, obtemos:

int x e^(2 x) d x = (x e^(2 x))/(2) - int (e^(2 x))/(2) d x

int x e^(2 x) d x = (x e^(2 x))/(2) - (e^(2 x))/(4) + k

Substituindo a solução desta integral na solução da EDO, obtemos:

y = (4)/(e^x) * ((x e^(2 x))/(2) - (e^(2 x))/(4) + k)

y = 2 x e^x - e^x + k e^(- x)

Resposta

y = 2 x e^x - e^x + k e^(- x)

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