Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

cosec^2(x) * sen(x) dy + (y * cosec^3(x) - 1) dx = 0

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por x

d y d x + 1 + x x y = e - x . s e n 2 x x       ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 1 + x x e B x = e - x . s e n 2 x x então:

I x = e ∫ 1 + x x   d x

I x = e x + l n ⁡ | x | = e x . e ln ⁡ x = e x . x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e x . x ∫ e x . x . e - x . s e n 2 x x   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ e x . x . e - x . s e n 2 x x   d x = ∫ e x - x . s e n ( 2 x )   d x

∫ e x . x . e - x . s e n 2 x x   d x = ∫ s e n ( 2 x )   d x

∫ e x . x . e - x . s e n 2 x x   d x = - cos ⁡ 2 x 2

Substituindo em ( I I I )

y x = 1 e x . x - cos ⁡ 2 x 2 + c

y = - cos ⁡ 2 x 2 . e x . x + c e x . x

Com:

0 < x < + ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y = - cos ⁡ 2 x 2 . e x . x + c e x . x

0 < x < + ∞

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