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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 10

Resolva a equação diferencial.

1 + x y = x y '

Passo 1

O exercício pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

x y^' - x y = 1

Dividindo a equação por x :

y^' - y = (1)/(x)

Note que essa equação é linear e pode ser esciita na forma

y^' + P (x) y = Q (x) ,

com

P (x) = - 1 e Q (x) = (1)/(x)

O primeiro passo para resolver a equação é achar o fator integrante:

I = e^(int P (x) d x)

Calculando a integral:

int P (x) d x = - int d x = - x

Assim,

I = e^(- x)

Passo 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante:

y^' e^(- x) - y e^(- x) = (e^(- x))/(x)

Assim, o primeiro termos pode ser fatorado:

y^' e^(- x) - y e^(- x) = (y e^(- x))^'

Logo,

(d)/(d x) (y e^(- x)) = (e^(- x))/(x)

Integrando, obtemos

y e^(- x) = int (e^(- x))/(x) d x

Essa integral não pode ser escrita em termos de funções elementares, então deixaremos a solução em função dela. Adicionando a constante de integração e isolando y :

y = (1)/(e^(- x)) int (e^(- x))/(x) d x + (C)/(e^(- x))

Logo,

y = e^x int (e^(- x))/(x) d x + C e^x

Essa é a solução!

Resposta

y = e^x int (e^(- x))/(x) d x + C e^x

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine a ordem da equação diferencial dada e diga se ela é linear ou não d 3 y d t 3 + t d y d t + ( cos 2 ⁡ t ) y = t 3