Resolva as equações diferenciais

Temos aqui uma equação linear em mãos. Isso significa que temos uma equação com essa estrutura

Para resolver essa equação precisamos treinar um novo truque. O FATOR INTEGRANTE. Eu vou mostrar de onde ele surge, mas depois que pegarmos o jeito podemos só usar a formulinha já pronta para resolver nosso problema.

Quando temos uma função comum, por exemplo :

Se quisermos derivar ela, podemos fazer

E claro, voltar para nossa função original seria bem fácil. Podemos integrar fazendo Separação de Variaveis

E agora se tivermos uma função desse jeito

Fica impossível separar as variáveis. Temos que usar uma nova técnica, a do FATOR INTEGRANTE. Podemos imaginar que lá no início na nossa primitiva temos uma função aleatória que multiplica nosso . Pensar isso vai salvar a pátria. Saca só

Então podemos derivar e teremos

Podemos imaginar que essa função seja da família das exponenciais, logo sua derivada seria ela mesma, multiplicada por alguma outra função.

Então ficamos com

O legal dessa técnica é que o termo em colchetes é tudo o que fica do lado direito da nossa equação linear

Então esse é nosso termo entre colchetes

Agora se integrarmos de ambos os lados teremos

Estamos quase acabando. Esse é só uma bengala na nossa solução. Temos que nos livrar dele. Por suposição fizemos

Com isso podemos conseguir achar nosso fator integrante em função da nossa função genérica

Essa integral teria que ter uma constante arbitraria. Mas como já vamos colocar uma constante lã no final da integral. Podemos arbitrar que a de agora seja nula. Beleza? Podemos prosseguir então. Conseguimos fazer que nossa equação Diferencial Linear tivesse a seguinte solução

Sendo nosso fator integrante

Vamos agora analisar nossa equação do exercício