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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 04b

Resolva a equação diferencial por dois métodos:

  1. Separe as variáveis.

x + 1 x d y d x + y = 0

Passo 1

Primeiros deixamos tudo que está em função de y de um lado e tudo que está em função de x do outro:

x + 1 x d y d x = - y ⇒ x 2 + 1 x d y d x = - y ⇒ d y y = - x d x x 2 + 1  

Passo 2

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y y = ∫ - x d x x 2 + 1 ⇒ ln ⁡ y = - ∫ x   d x x 2 + 1  

Fazendo a substituição u = x 2 + 1 , que nos dá d u = 2 x   d x ⇒ d x = d u 2 x , a integral fica:

∫ x   d x x 2 + 1 = ∫ x u   d u 2 x = 1 2 ∫ d u u = ln ⁡ u 2 + k = ln ⁡ x 2 + 1 2 + k

Então:

ln ⁡ y = - ln ⁡ x 2 + 1 2 + k ⇒ y = e - ln ⁡ x 2 + 1 2 + k = e k e ln ⁡ x 2 + 1 - 1 2 = e k x 2 + 1 - 1 2

y = C x 2 + 1

Sendo C = ± e k .

Resposta

y = C x 2 + 1

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